История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи - Иван Рожанский

Непосредственное отношение к теоретической механике имеет трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур» (Περί επιπέδων ισορροπιών). Он состоит из двух частей. В первой части Архимед дает строго аксиоматический вывод закона равновесия рычага и определяет центры тяжести параллелограмма, треугольника и трапеции. Во второй части вычисляются центры тяжести параболического сегмента и параболической трапеции.

По поводу времени написания этого сочинения существуют различные мнения. Английский историк математики Т. Л. Хит, а у нас С. Я. Лурье считали, что первая часть трактата «О равновесии плоских фигур» относится к раннему периоду творчества Архимеда, когда он был занят проблемами центра тяжести и равновесия рычага[297]. Вторую часть трактата Хит относит к более позднему времени, когда уже была написана «Квадратура параболы». И. Н. Веселовский выражал свое несогласие с таким разделением трактата на два различных по времени создания сочинения и приводил по этому поводу ряд соображений, которые нам представляются достаточно вескими[298]. Вкратце эти соображения сводятся к следующему.

Как первая, так и вторая часть трактата резко отличаются по своему стилю от работ Архимеда раннего периода. Так, например, в «Квадратуре параболы» еще очень заметна механическая основа, на которой строится первое доказательство: говорится о рычагах, о подвешенных грузах, о равновесии, которое предполагается практически осуществимым, т. е. устойчивым, и т. д. Ничего этого нет в трактате «О равновесии плоских фигур». Он начинается с формулировки семи аксиом, из которых с помощью чистой дедукции выводится закон рычага. Вот эти аксиомы:

«1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести па большей длине.

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.

5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены. (Под подобным расположением точек в подобных фигурах мы подразумеваем такое, в котором прямые, проведенные из этих точек к вершинам равных углов, образуют равные углы с соответственными сторонами.)

6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.

7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры»[299].

Мы видим, что эти аксиомы отчетливо распадаются на две группы. К первой группе относятся первая, вторая, третья и шестая аксиомы, лежащие в основе теории рычага. В аксиомах четвертой, пятой и седьмой говорится о центрах тяжести плоских фигур, причем само понятие центра тяжести считается хорошо известным. Связь между обеими группами аксиом становится очевидной в ходе последующих доказательств, причем эти доказательства имеют крайне формальный характер: место физического рычага занимают простые геометрические линии, и само равновесие становится каким-то неопределенным, отвлеченно-математическим; теоремы доказываются большей частью от противного, причем это относится в равной мере как к первой, так и ко второй части трактата. Материал первой книги подготавливает все необходимое для доказательства теорем второй книги, причем между предложениями обеих частей имеется тесная логическая связь.

Таким образом, следует принять тезис о достаточно позднем времени написания трактата «О равновесии плоских фигур». В этом сочинении Архимед решил придать строгую математическую форму результатам, которые были получены им значительно раньше.

Заметим, что Э. Мах, относившийся с недоверием ко всякому применению формально-дедуктивных методов к механике, полагал, что логическая строгость архимедовской теории рычага является мнимой. По его мнению, теоремы шестая и седьмая трактата, гласящие, что как соизмеримые, так и несоизмеримые величины уравновешиваются на длинах, обратно пропорциональных тяжестям, не могут быть выведены из приведенных выше семи аксиом без привлечения опытных данных. Вот что он писал по этому поводу в «Механике».

«Хотя результаты, полученные Архимедом и последующими исследователями, с первого взгляда и кажутся чрезвычайно поразительными, тем не менее у нас возникают при более точном рассмотрении сомнения в правильности их. Из одного допущения равновесия равных грузов на равных расстояниях выводится обратная пропорциональность между грузом и плечом рычага! Как же это возможно?. Раз уже одну голую зависимость равновесия от груза и расстояния вообще невозможно было измыслить из себя, а необходимо было заимствовать из опыта, то тем менее нам удастся найти спекулятивным путем форму этой зависимости, пропорциональность»[300].

Точка зрения Маха вызвала оживленную дискуссию среди историков науки. Мы не имеем возможности останавливаться на этой дискуссии, так как это заняло бы слишком много места; ограничимся ссылкой на И. Н. Веселовского, который утверждал, что доказательства Архимеда оказываются совершенно безупречными, если разобраться в смысле шестой аксиомы, которая на первый взгляд кажется чистой тавтологией (именно так, по-видимому, воспринимал ее Мах). Этот смысл состоит в следующем: «Действие груза, приложенного в данной точке, определяется только его величиной, т. е. совершенно не зависит от его формы или ориентации».

Понимаемая таким образом шестая аксиома позволяет заменить несколько масс одной, помещенной в центре их тяжести; в этом смысле она и употребляется Архимедом при доказательстве теорем шестой и седьмой первой книги (а также теоремы первой второй книги). Доказательство закона рычага приобретает теперь вполне строгую логическую форму[301].

Так или иначе, трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур» считался на протяжении ряда веков образцом математической строгости. Наряду с письмами к Досифею он тщательнейшим образом изучался математиками XVII в., среди которых, помимо перечисленных выше ученых, были такие гиганты, как Галилей и Гюйгенс.

Особое положение в научном наследии Архимеда занимает трактат «О плавающих телах» (Περί των όχουμένων), состоящий из двух книг. Это, по-видимому, одно из последних, если не самое последнее сочинение великого сиракузца. В пользу этого предположения говорит явная незаконченность конца второй книги. Тем не менее этот трактат можно считать едва ли не высшим достижением Архимеда, свидетельствующим о том, что до конца своих дней (прерванных, как известно, злосчастным ударом меча римского воина) Архимед находился в расцвете своих творческих потенций.

Интересна позднейшая история этого трактата. В XIII столетии один из немногих в то время знатоков греческого языка — Вильгельм Мербеке (ум. 1282 г.) выполнил по просьбе Фомы Аквинского перевод ряда сочинений Архимеда (а также других греческих ученых) на латынь. Среди переведенных сочинений был и трактат «О плавающих телах». Вскоре после этого греческая рукопись трактата была каким-то образом утеряна. В течение нескольких столетий трактат оставался известен лишь в переводе Меркебе. И лишь в начале XX в. Хейберг обнаружил около трех четвертей оригинального текста трактата на том самом палимпсесте, на котором был записан и «Эфод».

Первая часть трактата «О плавающих телах» начинается с предположения, которое можно было бы назвать физической аксиомой, если бы оно не заключало в себе целую физическую концепцию:

«Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-либо сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим»[302].

Рассмотрение жидкости как среды, которую можно рассматривать как совокупность бесчисленного множества прилегающих друг к другу частиц, стало в дальнейшем общепринятым приемом физики сплошных сред и не имеет никакого отношения к анатомистике. У Архимеда мы встречаемся с этим приемом впервые.

Предположение, которое мы процитировали, используется Архимедом для вывода целого ряда важных теорем. Первые две из них устанавливают следующее свойство жидкости: «Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли»[303]. Мы теперь знаем, что это свойство (сформулированное, кстати сказать, еще Аристотелем в трактате «О небе»[304]) имеет приблизительный характер и не соблюдается у жидкостей, заключенных в узкие сосуды. Но для жидкостей, находящихся в больших бассейнах, для озер, морей и океанов, доказанная Архимедом теорема безусловно справедлива.