История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи - Иван Рожанский

Важное значение для Архимеда имела поездка в Александрию, оказавшая, вне всякого сомнения, стимулирующее влияние на его дальнейшее творчество. Мы считаем совершенно неубедительным предположение И. Н. Веселовского, что эта поездка была совершена, когда Архимеду было уже под пятьдесят лет, и что лишь после этого он занялся проблемами чистой математики[291]. Ничто не мешает нам допустить, что пребывание Архимеда в Александрии совпало со временем первой Пунической войны (264–241 гг. до н. э.), в которой Сиракузы не участвовали, занимая выгодную нейтральную позицию. В столице Египта Архимед познакомился с выдающимся ученым александрийской школы Кононом, занимавшим положение придворного астронома при царе Птолемее III Эвергете. Конон был лет на двадцать старше Архимеда; будучи прекрасным геометром, он ввел молодого сиракузца в круг проблем, находившихся в центре внимания александрийских математиков. По возвращении в Сиракузы Архимед продолжал поддерживать связь с Кононом, сообщая ему в письмах о результатах своих научных исследований. К сожалению, ни работы Архимеда александрийского периода, ни его письма к Конону до нас не дошли. Когда Конон умер (около 240 г. до н. э.), Архимед стал переписываться с учеником Конона Досифеем. Сохранились четыре письма Архимеда к Досифею («Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах» и «О спиралях»), которые можно причислить к числу важнейших математических работ Архимеда зрелого периода: в них величайший ученый древности предвосхищает идеи интегрального и дифференциального исчисления нового времени.

Другим александрийским ученым, с которым Архимед продолжал сохранять контакт по возвращении на родину, был знаменитый Эратосфен из Кирены, впоследствии (с 234 г. до н. э.) ставший руководителем александрийской Библиотеки. О дошедшем до нас письме Архимеда к Эратосфену (так называемый «Эфод») будет сказано несколько ниже.

Следует отметить, что, находясь в Александрии, Архимед не прекратил и своей инженерной деятельности. Об этом свидетельствует изобретенная Архимедом машина для поливки египетских полей: это так называемый архимедов винт или «улитка», получившая в дальнейшем широкое распространение в античном земледелии.

Сейчас мы обратимся к тем работам Архимеда, в которых он устанавливает связь между математикой и механикой, доказывая чисто математические положения с помощью механических методов. Это была процедура, ранее неведомая греческой математике и впервые изобретенная Архимедом: она стала возможной на основе работ Архимеда по статике и, прежде всего, по теории рычага, в которых эта область механики была превращена в точную математическую науку. Прежде всего рассмотрим одно из наиболее ранних среди дошедших до нас сочинений Архимеда (хотя по времени написания оно было далеко не ранним), а именно «Квадратуру параболы». Как уже указывалось выше, сочинение это было написано в форме письма к Досифею, ученику Конона. Вот его начало: «Архимед Досифею желает благоденствия! Узнавши о смерти Конона, делавшего все для нас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге, и как о выдающемся математике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы, остававшиеся ранее неизвестными, а теперь полученные нами; они были сначала обнаружены нами при помощи механических методов, а затем — доказаны также и геометрически… Предварительно излагаются основные свойства конических сечений, необходимые для доказательства»[292].

Теоремы теории параболы, которыми пользуется Архимед в этом сочинении, были, по-видимому, доказаны Эвклидом или другим, менее известным математиком того же времени— Аристеем. Оба они написали не дошедшие до нас сочинения о свойствах конических сечений; позднее полученные ими результаты вошли в знаменитый труд-Аполлония Пергского (Κωνικά). Мы видим, что Архимед был прекрасно знаком с математическими работами своих предшественников.

Далее решается задача нахождения площади сегмента, ограниченного параболой и прямой. Как явствует из приведенной выше цитаты, Архимед решает эту задачу двумя методами, причем лишь второй, геометрический, метод он считает удовлетворяющим требованиям строгой математики. Но нас, в первую очередь, интересует первый, по сути дела эвристический, метод, который сам Архимед назвал механическим, ибо он действительно показывает характерную для мышления Архимеда органическую связь математики и механики. Будучи инженером, Архимед сделал механику точной математической наукой, в то же время, будучи математиком, он мыслил с помощью образов и понятий, взятых из сферы механики.

Не повторяя буквально Архимеда, проследим основные стадии вывода формулы для площади параболического сегмента с помощью механического метода.

Рассмотрим параболический сегмент, ограниченный куском параболы αβγ и отрезком αγ (рис. 6). Ставится задача: выразить площадь этого сегмента через площадь вписанного в него треугольника αβγ.

Рис. 6. Определение площади параболы механическим методом

Имеем:

δβ — ось параболы

γζ — касательная к параболе в точке γ

αζ — прямая, параллельная оси параболы, проходящая через точку α.

γϑ — прямая, проходящая через точку γ и вершину параболы β, причем γκ=κϑ,

ξν — прямая, параллельная оси параболы, проходящая через произвольную точку ξ, лежащую на отрезке αγ.

Одно из свойств параболы, доказываемых в теории конических сечений, состоит в том, что:

ξο/ον = αξ/ξγ или ξο/ξν = αξ/αγ

откуда, между прочим, следует:

δβ = βε

(следовательно, γκ — медиана треугольника αγζ). Далее:

ξο/ξν = αξ/αγ = κμ/κγ = κμ/κϑ

Т. е.:

ξο/ξν = κμ/κϑ

До сих пор идет чистая геометрия, но с этого момента начинается механика. Архимед предлагает представить параболический сегмент αβγ и треугольник αζγ как две материальные пластинки, наложенные одна на другую и веса которых определяются их площадями. Отрезок ξ0 будем рассматривать как бесконечно тонкую полоску сегмента, а ξν как такую же полоску треугольника. Веса этих полосок будут определяться их длинами. Перенесем полоску ξ0 в точку ϑ таким образом, чтобы она приняла положение τη, а ее середина (и, следовательно, ее центр тяжести) совпала бы с точкой ϑ. Тогда уравнение (1) можно будет трактовать как условие равновесия рычага, плечи которого равны κϑ и κμ и к концам которого подвешены грузы τη и ξν.

Это же справедливо и для всех прочих, накладывающихся друг на друга полосок сегмента αβγ и треугольника αςγ. Перенеся все полоски, из которых состоит сегмент, в точку ϑ, мы можем заключить, что общий вес параболического сегмента будет уравновешен весом треугольника, если считать, что центр тяжести последнего совпадает с концом правого плеча нашего рычага. В своих предыдущих работах Архимед показал, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Пусть этой точкой будет κ. Тогда условие равновесия сегмента и треугольника можно будет записать следующим образом:

вес сегм. 2βγ/вес треуг. αζγ = площадь сегм. αβγ/площадь треуг. αζγ = κχ/κϑ

Из геометрии мы знаем, что κχ = 1/3 κγ. Отсюда·: площадь сегм. αβγ/площадь треуг. αζγ = κγ/ζκϑ = 1/3

Площадь треугольника αζγ = 1/2 * αζ * αγ,

Из чертежа, однако, явствует, что αζ = 2δε = 4δβ. В результате приходим к окончательному ответу:

площадь сегм. αβγ = 4/3 (1/2 * δβ * αγ) = 4/3 площ. треуг. αβγ

Несмотря на недостаточную строгость механического метода, полученное соотношение оказывается абсолютно точным. Тем не менее во второй части трактата Архимед дает второе (геометрическое) доказательство, где тот же результат получается с помощью метода исчерпывания Эвдокса (рис. 7). При этом Архимед указывает, что в ходе доказательства он пользуется следующим предположением:

«Если имеются две неравные площади, то, постоянно прибавляя к самому себе избыток, на который большая площадь превосходит меньшую, можно получить площадь, которая была бы больше любой заданной ограниченной площади»[293].

Рис. 7. Определение площади параболы методом «исчерпывания»

Архимед сообщает, что «этой леммой пользовались также и жившие ранее геометры». Он имеет в виду, по-видимому, Эвдокса и Эвклида. Эвдокс, впервые и в самом общем виде (для любых величин, а не только для площадей) сформулировавший это положение, использовал его для разработки своей теории отношений, изложенной в пятой книге «Элементов» Эвклида; в свою очередь, Эвклид доказал с его помощью теоремы о площади круга и об объемах шара, пирамиды и конуса (двенадцатая книга «Элементов»). Таким образом, автором этого положения был фактически Эвдокс, хотя в позднейшей математической литературе оно получило наименование «аксиомы Архимеда».