Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика. - Карлос Касадо

В дифференциальном уравнении главной неизвестной является скорость изменения величины, то есть его дифференциал, или производная. Дифференциалы как производные одной величины представляют изменение значения функции — увеличение, уменьшение, постоянство. Например, ускорение описывает изменение скорости движения, так как это частное дифференциалов скорости и времени. Иными словами, ускорение является производной скорости по отношению ко времени, и исходя из этого оно представляет собой изменение скорости по отношению ко времени.

Ньютон — одновременно с Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) — придумал дифференциальное исчисление (или теорию флюксий, как он его называл) и применил его к своим исчислениям. Итак, чтобы представить законы астрономии и механики в знаменитой работе Philosophiae naturalis principia mathematica {«Математические начала натуральной философии», 1687 год), Ньютон сохранил терминологию, унаследованную от Евклида и греков. Для расчета производной он определил касательные к кривой и вычислил интеграл (операция, обратная дифференцированию), чтобы определить площадь поверхности под кривой. Таким образом, если вы откроете «Начала» Ньютона, то, вероятно, будете разочарованы: это произведение, считающееся символическим по отношению к научной революции, практически не поддается расшифровке. В действительности именно Лейбницу мы обязаны символами, обозначающими слова «дифференцировать» (δ) и «интегрировать» (∫), а также правилами, регулирующими эту нотацию, хорошо известными каждому студенту математического факультета.

Описание подробностей распространения «Начал» потребовало бы много места. Отметим лишь, что идеи Ньютона привлекали все больше и больше последователей благодаря труду таких авторов, как Пьер Вариньон (1654-1722), который был другом Лейбница и преподавателем в Париже. Ученые стремились сформулировать в виде уравнений механические концепции и геометрические построения Ньютона, используя для этого такой инструмент, как дифференциальное исчисление в версии Лейбница, то есть исчисление бесконечно малых. Эти авторы оказали Ньютону огромную услугу, предложив для его теории математически вразумительную форму. Одновременно такие философы, как Вольтер и его подруга маркиза Эмили дю Шатле (1706-1749), успешно содействовали тому, чтобы донести труды Ньютона до широкой европейской публики, далекой от науки.

Законы Ньютона в конце концов нашли свое выражение с помощью аналитического языка дифференциальных уравнений. Уравнения пришли на смену графикам. Любопытно, что заботу переводить натуральную философию Ньютона с геометрического языка, используемого в это время, на новый аналитический язык (в известном нам виде) взяли на себя не британские математики. У истоков этого начинания стояли ученые с континента, в частности из Парижа, Берлина и Санкт-Петербурга. Соперничество Ньютона и Лейбница относительно авторства метода исчисления переросло в антипатию и открытую вражду между их сторонниками и проложило пропасть между островными и континентальными математиками. Первые последователи Ньютона упорно добивались использования исключительно геометрических методов, что впоследствии вызвало некоторое замедление развития британской науки.

Постепенный переход от геометрической механики Ньютона к аналитическим методам стал возможен только благодаря работе целого поколения математиков континентальной Европы, особенно Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа. Это была великая математическая эпоха, в течение которой анализ стал основной дисциплиной: дифференциальное исчисление и интегралы, теория дифференциальных уравнений испытали резкий подъем.

Достоинство хорошо составленного (математического) языка в том, чтобы его упрощенное определение часто становилось источником глубоких теорий.

Пьер-Симон де Лаплас

Самым известным дифференциальным уравнением, безусловно, является то, которым мы обязаны Исааку Ньютону (1642-1727): «Сила равна массе, умноженной на ускорение».

Это записывается как F= m ∙ а, где

a = dv/dt

(ускорение — это частное дифференциалов скорости и времени, то есть производная скорости по времени).

Но удивительно, что сам Ньютон никогда не приводил этого уравнения. Его второй закон имеет более общую формулировку: «Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе». В современном виде это:

F = d/dt(m ∙ v).

Любая сила, воздействующая на тело, вызывает изменение движения. Предположим, что масса тела постоянна (тогда можно извлечь m из производной), мы находим известное уравнение: F= m ∙ а. Эта формула в первый раз появилась в математическом трактате под названием Phoronomia («Форономия»), опубликованном в 1716 году Якобом Германом (1678- 1733), который опирался на практичный способ записи Лейбница. Формула получила известность благодаря Эйлеру, который привел ее в своем труде«Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (1736). В течение большей половины XVIII века математики использовали более общую формулу, предложенную д'Аламбером в «Трактате о динамике» (1743), которая, естественно, носит имя ученого, — принцип д'Аламбера.

Аналитическая механика представляла собой значительный прогресс по сравнению с механикой Ньютона. Чем дальше математика отходила от геометрических методов к аналитическим, тем возможнее было изучить физические феномены с помощью дифференциальных уравнений, их описывающих.

После открытия Ньютоном дифференциального уравнения «сила равна массе, умноженной на ускорение», которое управляет движением множества точек и твердых тел, Эйлер сформулировал систему дифференциальных уравнений, описывавших движение такой среды, как вода, воздух или иные жидкие невязкие тела.

Позднее Лагранж сконцентрировал свое внимание на звуковых волнах и акустических уравнениях. В течение XVIII века математики углубляли свое понимание мира и предлагали новые дифференциальные уравнения для изучения различных феноменов. При помощи этого вида уравнений было смоделировано поведение твердых и жидких тел, волн и самой Природы. Математический анализ казался бесконечно обширным.

Однако если составление уравнения для описания феномена может быть легкой задачей, то поиск решения может оказаться не под силу человеку. Самостоятельно решить дифференциальное уравнение так же, как алгебраическое, не удается почти никогда. Последователи Ньютона сформулировали уравнения и смогли решить часть из них — особенно те, которые были связаны с импульсом подброшенной частицы или движением маятника, — но многие уравнения им не поддавались. Для понимания физических феноменов требовалось решать все более сложные дифференциальные уравнения.

Существует два вида дифференциальных уравнений: линейные и нелинейные. Для уравнений первого вида сумма двух решений также оказывается решением. Кроме того, в линейном дифференциальном уравнении ни неизвестная функция, ни ее производная не могут быть возведены в степень 0 или 1. Линейные дифференциальные уравнения описывают феномены, в которых результат суммы причин — это сумма последствий каждой из них, взятой отдельно. Зато в нелинейных уравнениях не существует пропорциональной связи между причинами и следствиями, и пересечение двух разных причин может дать неожиданный результат. Как мы увидим дальше, эта нелинейность сопутствовала самым сложным задачам механики, за которые брался Лаплас.

Людовик XIV во время визита в Академию наук в 1671 году, через пять лет после ее создания.

Гравюра, изображающая Лапласа, из альбома «Великие люди и великие факты Французской революции» (1789-1804), выпущенного к столетию революции в 1889 году.

План Королевской военной школы в Париже, составленный Жаком Анжем Габриэлем в 1751 году.

Ученый франко-итальянского происхождения Жозеф Луи де Лагранж (1736-1813) родился в Турине. Его интерес к математике разгорелся в самом раннем возрасте благодаря очерку астронома Эдмунда Галлея, описывавшего положительные стороны нотации Ньютона. Благодаря работам Лагранжа Эйлеру удалось решить большое количество задач, с которыми он долгое время не мог справиться. Однако с великодушием, достойным восхищения, Эйлер отказывался публиковать решение до того момента, пока этого не делал Лагранж, — «чтобы не присвоить себе никакой доли славы, которая к нему пришла». В 1766 году, когда Эйлер покинул Берлин, чтобы ехать в Санкт-Петербург, Лагранж занял его место (говорят, Фридрих II воскликнул, что наконец-то ему удалось найти замену одноглазому математику). Именно в Берлине он пишет свое лучшее произведение — «Аналитическую механику» (1788). Эта работа изложена так элегантно, что может быть квалифицирована как научная поэма.