Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика. - Карлос Касадо

С задачей трех тел и орбитальными аномалиями тесно связан вопрос стабильности Солнечной системы (состоявшей в то время из восьми тел: Солнца и семи известных планет, не считая их спутников). Его решение зависело от решения задачи трех тел. В области астрономии решение проблемы п тел равносильно тому, чтобы спросить самого себя, как будет выглядеть небо через год, через 100 лет и миллиард лет. Как мы уже увидели, Ньютон знал, что для двух тел задача могла быть решена с высокой точностью в любой данный момент; но все менялось, когда во взаимодействие с двумя первыми телами входило третье. Воздействие планет было слабым по сравнению с гравитационным притяжением Солнца, но все же не ничтожным. Более того, в долгосрочной перспективе это воздействие могло отклонить планету с ее орбиты или даже вытеснить из Солнечной системы. Межпланетные взаимодействия могли повредить красивые кеплеровские эллипсы и не давали возможности предсказать поведение системы в отдаленном будущем. В своей работе De motu corporum in gyrum («Движение тел на орбите», 1684) Ньютон утверждал, что планеты движутся не по совершенному эллипсу и никогда не повторяют одну и ту же орбиту два раза. Он также признал, что предсказание долгосрочных движений значительно превосходит человеческие способности.

Таким образом, оставались открытыми насущные вопросы: стабильна ли Солнечная система? Остаются ли планеты на своих орбитах или смещаются с них с течением времени? Не приведут ли аномалии, наблюдаемые в движениях Юпитера, Сатурна и Луны, к разрушительным последствиям? Ньютон представил радикальное решение проблемы: когда Солнечная система выходит за рамки правил, рука Бога заново направляет каждую планету на свой эллипс, регулярно устанавливая, таким образом, гармонию в мире. Однако Лейбниц замечал по этому поводу, что Создатель не ремесленник. Немца возмущал тот факт, что британец привлекает Бога в качестве гаранта стабильности Солнечной системы. Невозможно себе представить, что Творец создал мировую машину, которая, словно часы, нуждается в регулярной проверке и корректировках.

Это спор бушевал в последние десятилетия XVIII века, период, когда ярок был страх нестабильности Вселенной и ужас перед тем, что комета, проходя рядом с Землей, может быть притянута ею, и в результате произойдет столкновение с трагическими последствиями для цивилизации. (Теперь мы знаем, что гравитационное притяжение Юпитера помогло уменьшить орбиту кометы Хейла — Боппа с 4200 до 2800 лет после ее последнего появления в 1997 году)

Мог ли закон всемирного тяготения Ньютона подтвердить стабильность Солнечной системы? Лапласу законы британского ученого уже помогли предсказать траектории любых небесных тел — планет, спутников и комет. Кроме того, они доказывали стабильность мировой системы и устойчивость Вселенной.

Между 1785 и 1788 годами Лаплас доказал, что ни изменение эксцентриситета, ни возмущения орбит не являются вековыми неравенствами, что, таким образом, позволяет говорить о стабильности системы:

«Их вековые неравенства должны быть периодическими и заключенными в узкие пределы, так что планетарная система только колеблется около среднего состояния, от которого она отклоняется лишь на очень малую величину».

Орбиты планет почти всегда круглые с ограниченными изменениями их эксцентриситета. Наклон плоскости, в которой они перемещаются, не превышает 3 градусов. Сатурн не потеряется в бесконечном пространстве, Юпитер не столкнется с Солнцем, а Луна — с Землей. Лаплас доказал, что причиной ускорения Юпитера и замедления Сатурна были незначительные возмущения, связанные с расположением двух планет относительно Солнца. Точно так же ускорение движения Луны спровоцировано минимальными изменениями эксцентриситета Земли. Эти возмущения зависят только от закона тяготе ния и имеют тенденцию уравновешиваться с течением времени. Они следуют периодическим, но крайне длинным циклам. Таким образом, мировая система представляет собой отлично отлаженный механизм.

Лаплас сделал вывод, что Вселенная стабильна, не прибегая при этом к божественному вмешательству, как Ньютон. Почти через сто лет оптимист Лейбниц, казалось, одержал победу над британцем: Бог не был необходим для уравновешенного расположения планет, и никакие катаклизмы не грозили равновесию системы. Французский ученый доказал, что речь идет о полностью саморегулируемом механизме, который не нуждался во вмешательстве великого часовщика. Вселенной предопределено быть стабильной навеки.

Более чем через 200 лет успокаивающие прогнозы, сделанные Лапласом, стали нуждаться в небольшой проверке. Ученый решил продемонстрировать стабильность Солнечной системы не только в краткосрочной, но и в долгосрочной перспективе — до скончания века. Но работы по небесной механике французского математика Жюля Анри Пуанкаре (1854— 1912) в конце XIX века и особенно новые открытия XX века, в частности революционная теория хаоса, встали рядом с выводами Лапласа.

Ученый полагал, что решение проблемы трех тел не может быть найдено с помощью простой функции, а требует решения системы дифференциальных уравнений, то есть бесконечной суммы функций (которые зависят от таких орбитальных параметров, как эскцентриситет, наклонение орбиты, масса планеты). Эта система должна соответствовать условиям задачи и, кроме прочего, быть сходящейся для некоторых значений переменных. Лагранж уже нашел одно решение, но он не был уверен, что ряды сойдутся: если мы заменим переменные на их числовые значения, взятые из атмосферных данных, бесконечная сумма членов ряда станет конечным числом.

Поскольку условия не способствовали точным расчетам, Лаплас решил воспользоваться приблизительными значениями с усеченными рядами. В одном бесконечном ряду членов он сохранял только главные, а остальные опускал. Ученый думал получить разумные оценки поведения планет, изменяя лишь первые члены бесконечного ряда и полагая, что остальные члены не будут слишком сильно влиять на результат. Так он определил приблизительные решения для задачи трех тел и увидел, что хотя они и не полностью соответствуют действительности, эти мелкие отклонения несущественны. Он не ошибся.

Ряды, с которыми работал Лаплас, были рядами степеней, то есть бесконечными суммами функций, определенными с помощью последовательных степеней обратной массы Солнца. В первом члене появляется обратная величина массы, во втором — квадрат обратной величины солнечной массы, в третьем — куб и так далее. Учитывая соотношение солнечной массы с массами оставшихся планет и их спутников (отношение массы одной планеты к массе Солнца равно примерно 0,0001), Лаплас решил сократить этот ряд, используя только первый член и опуская члены начиная со степени 2. Он считал их несущественными: при возведении солнечной массы в квадрат частное становится порядка 0,00000001). Для наглядности, вместо того чтобы рассматривать А + В + С +..., он учитывал только А. Этот первый член позволял вывести приближение первого порядка.

Очевидно, что сумма первого и второго членов (А + В) была бы лучшим приближением, а сумма первых трех членов (А + В + С) — еще лучшим, но это потребовало бы погружения в крайне сложные вычисления. На самом деле если последовательные члены убывали, то приближение первого порядка (А) уже представляло собой достаточно точное значение суммы. Именно таким образом действовал французский математик: он использовал приближения первого порядка и не учитывал члены второго, третьего и последующих порядков.

Де Мопертюи, опирающийся на глобус, в знак уважения к Ньютону.

Чертеж из «Первоначал философии» Декарта, демонстрирующий идею вихревых потоков.

Диаграмма из «Математических начал натуральной философии», в которой Ньютон объясняет, каким образом Солнце воздействует на движение Луны вокруг Земли.

Математики XIX века возьмут на себя обязанность доказать, что, к сожалению, большинство рядов небесной механики, открытых математиками предыдущего столетия, не сходятся (их результат дает бесконечное число). Таким образом, они не дали приемлемых решений или сколько-нибудь точных приблизительных значений. Лаплас сохранил только А, но оставшиеся члены В + С, хоть и были небольшими, оказывали свое влияние. С течением времени — в долгосрочном периоде — они могли стать причиной значительных изменений. Также в этом бесконечном ряду внезапно мог появиться новый значительный член, что противоречило бы тенденции следования первых членов. В частности, в уравнении системы Солнце — Юпитер — Сатурн (задача трех тел) Лаплас пренебрег членами, которые считал бесконечными, но которые, вопреки его догадкам, могли вызвать дестабилизацию Солнечной системы. Несколькими годами позже он объяснил свой метод в работе «Изложение системы мира» (книга IV, глава II):