Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика. - Карлос Касадо

Именно эта звезда заставляла планеты вращаться вокруг нее благодаря гравитации — силе, навсегда запечатленной в законе земного притяжения.

Любые два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению масс тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Закон всемирного тяготения Ньютона

Безусловно, декартовы вихри были несовместимы с большим количеством хорошо известных феноменов, но они позволяли объяснить движения с помощью физических воздействий. А вот загадочная сила притяжения, о которой говорил Ньютон и которая приводила в движение планеты, действовала на расстоянии, от Солнца, не прикасаясь к телам непосредственно. Было сложно не увидеть магии в этом дистанционном воздействии.

Лейбниц стал одним из самых знаменитых защитников декартовых вихрей. Немецкий философ и математик подчеркивал их гармоничный характер. Вихри и в самом деле позволяли объяснить, почему все известные планеты Солнечной системы и их спутники вращаются в одном направлении, следуя практически плоским траекториям. Все они словно погружены в общий вихревой поток и двигаются в одну сторону, с запада на восток, — словно корабли, отданные на милость течению.

Этот фундаментальный феномен, который Ньютон объяснить не мог, сторонники Декарта часто использовали в качестве аргумента, чтобы опровергнуть ньютоновы теории. Как мы увидим в главе 4, только Лаплас, выступавший на стороне Ньютона, сможет объяснить этот феномен с помощью своей космогонической теории газовой туманности.

Со временем идеи Ньютона понемногу возобладали, причем даже во Франции, где защита теории Декарта была национальной задачей. Именно во Франции приступили к основным проблемам небесной механики, в решение которых Лаплас сделал значительный вклад в последней четверти XVIII века.

Благодаря беспрецедентной интеллектуальной концентрации Ньютон написал «Начала» за 18 месяцев. В этом труде он изложил фундаментальные принципы «теоретической и рациональной» механики (как он ее называл), то есть науки о движении. Исходя из своего второго закона (сила равна массе, умноженной на ускорение) и первого закона Кеплера (планеты описывают орбиты в форме эллипса, в одном из фокусов которого находится Солнце), он вывел закон всемирного тяготения, который звучит следующим образом: «Любые два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению масс тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними». Сила притяжения увеличивается с массой, но уменьшается с расстоянием. «Начала» глубоко потрясли математический мир и мир натурфилософии. Новый закон одновременно объяснял движение планет и гравитационное притяжение тел к Земле.

Этот закон сразу очаровал Лапласа. Возможно, он тут же решил найти доказательство универсальности этого закона, поскольку он объяснял все небесные феномены без исключения.

Я надеюсь доказать, что небесные феномены, которые кажутся исключением из принципа тяготения, на самом деле являются его необходимым следствием.

Лаплас о законе всемирного тяготения Ньютона

Объединив все феномены в единую систему, Лаплас стремился описать новую картину Вселенной — полностью детерминистской. Однако его исследование не касалось исключительно Солнечной системы и небесной механики. Лаплас в равной мере и с той же целью обратил свой взгляд и на земную физику — чтобы найти несколько универсальных законов, которые управляют физическими, химическими и даже биологическими феноменами. И его второй важный вклад состоит в разработке основ теории вероятностей (ее мы рассмотрим в главе 5). Вероятность — это точка, в которой соединяются законы Вселенной и случайности человеческого познания.

Греки утверждали, что Земля имеет форму сферы. Эта теория нашла практическое доказательство в 1522 году во время плавания Фернана Магеллана (1480-1521) и Хуана Себастьяна Элькано (1476-1526). Коперник открыл, что земной шар находится в движении, а также ответил на животрепещущий вопрос науки своей эпохи: какова форма этой движущейся Земли? Сторонники Декарта и Ньютона разделились. В «Началах» Ньютон выдвинул предположение, что небесное тело в состоянии движения принимает форму сфероида, приплюснутого на полюсах, то есть форму тыквы. Картезианцы возражали: согласно теории вихрей, Земля должна принять форму продолговатого сфероида, приплюснутого на экваторе, то есть форму дыни или яйца — как это показывает рисунок на следующей странице.

Установив истинную форму Земли, можно было подтвердить правоту Ньютона или Декарта. Париж в эти годы стал центром притяжения европейских математиков. В 1733 году астроном Луи Годэн (1704-1760) предложил измерить длину градуса меридиана на уровне экватора. В следующем году с этой целью в вице-королевство Перу, находившееся под властью испанской короны, направилась экспедиция. Одновременно Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698-1759), ассистент математика Алекси Клода Клеро (1713-1765), осуществил экспедицию в Лапландию, чтобы измерить длину градуса меридиана на уровне Северного полюса. Вернувшись в Париж даже раньше предусмотренного срока, 13 ноября 1737 года оба исследователя торжественно заявили перед Академией наук, что в результате измерений был подтвержден тот факт, что Земля имеет форму сфероида, приплюснутого на полюсах. Таким образом, прав оказался Ньютон.

Слева: Земля согласно Ньютону в форме тыквы. Справа: Земля согласно Декарту в форме дыни.

Сторонники Ньютона выиграли важную битву, но еще не всю войну. Декарт, с его вихрями и невидимыми тонкими материями, объяснял все, но ничего не предсказывал. А вот Ньютон, напротив, с его законом притяжения, мог предвидеть многое, но почти ничего не объяснял. Происхождение силы тяготения оставалось загадкой, но возможность использовать теорию Ньютона для прогнозирования позволила этому ученому одержать победу над Декартом. С этого момента на первый план в науке выходит эффективность.

Однако вопрос о форме Земли не был решен окончательно. Выяснилось, что хотя планета и приплюснута на полюсах, она не имеет четкой формы сфероида. Ее вид постоянно меняет сила тяготения, пример тому — отливы и приливы. Начиная с этого момента исследования силы тяготения расширялись.

В январе 1783 года молодой математик Адриен Мари Лежандр представил членам Академии результаты своей работы, касавшейся воздействия силы тяготения на сфероиды. Лапласу поручили прочитать эту работу и составить ее краткое резюме. В марте ученый представил Академии восторженный отчет. Безусловно, работа Лежандра побудила Лапласа начать собственные исследования этого вопроса. Немного позже он представил любопытный доклад — первую публикацию под собственным именем {«Теория притяжения сфероидов и фигуры планет», 1784), в которой обобщал наработки Лежандра, хотя и ни разу не ссылался на него. Лаплас проявлял подобную бестактность еще до вступления в Академию, когда позаимствовал идеи Эйлера и Лагранжа, не упоминая их имен. И этот случай не будет последним. Лаплас опубликовал свою работу раньше, чем Лежандр, который подчеркивал:

«Должен отметить, что дата моего сочинения более ранняя, и новое доказательство позволило господину Лапласу углубить это исследование». Что же такого было в работе Лежандра, сразу заинтересовавшей Лапласа? Именно в этом труде впервые было упомянуто то, что сегодня называют многочленами Лежандра (и что несправедливо называли функциями Лапласа в течение доброй части XIX века), — специальные функции, появляющиеся при решении дифференциальных уравнений. Точнее, они появлялись в решении одного уравнения, важного для небесной механики, которое мы сегодня называем уравнением Лапласа.

«Если француз приедет в Лондон, он найдет здесь большое различие в философии, а также во многих других вопросах. В Париже он оставил мир, полный вещества, здесь он находит его пустым. В Париже Вселенная заполнена эфирными вихрями, тогда как тут, в том же пространстве, действуют невидимые силы. В Париже давление Луны на море вызывает отлив и прилив — в Англии же, наоборот, море тяготеет к Луне. У картезианцев все достигается давлением, что, по правде говоря, не вполне ясно, у ньютонианцев все объясняется притяжением, что, однако, немногим яснее. Наконец, в Париже Землю считают вытянутой у полюсов, как яйцо, а в Лондоне она сжата, как тыква...»

Лапласианом называют оператор, являющийся обобщением на функции w = f(x, у, z, t) координат пространства и времени и равный сумме вторых производных функции от х, у, z: