Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - Энрике Грасиан

Самки некоторых одиночных ос откладывают яйца в норках, где также складывают несколько парализованных гусениц, которые будут служить пищей для личинок осы после того, как те вылупятся. Самое удивительное, что эти осы знают, из каких яиц вылупятся мужские особи, а из каких женские, и оставляют для них определенное количество гусениц.

Поиск простых чисел всегда был сложной задачей. Один из первых известных методов приписывают Эратосфену из Кирены (273–194 до н. э.), древнегреческому математику, астроному и географу, который также заведовал Александрийской библиотекой. Метод получил название решета Эратосфена. Давайте посмотрим, как с помощью этого метода можно найти простые числа в первой сотне натуральных чисел.

Во-первых, составим таблицу со всеми натуральными числами от 1 до 100. Затем вычеркнем все числа, кратные двум: 4, 6, 8, 10 потом вычеркнем все числа, кратные трем: 6 (уже вычеркнули), 9, 12, 15. Затем проделаем то же самое для чисел, кратных пяти и семи.

Остались только простые числа.

Обратите внимание, что «просеивание» закончилось на числе 10, квадратном корне из 100. В общем случае, чтобы найти все простые числа, меньшие, чем заданное число N, нужно «просеять» все числа, которые меньше или равны квадратному корню из N. Это и дает метод нахождения простых чисел, который используется и сегодня, спустя более чем 2000 лет после изобретения, для поиска «малых простых чисел»: так называются простые числа, которые меньше 10 млрд.

* * *

РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ

Имя Эратосфена связано с методом нахождения простых чисел. Однако этот метод вовсе не является его самым важным достижением. На самом деле Эратосфен вошел в историю науки как первый человек, вычисливший размер Земли. Используя методы, доступные в III в. до н. э., он смог посчитать длину полярной окружности с погрешностью менее одного процента.

Карта мира, каким он был известен Эратосфену. Греческий ученый был первым, кто разделил изображение мира на равные части, проведя параллели, хотя его меридианы были расположены неравномерно.

* * *

Если мы хотим изучать природу простых чисел, чтобы найти соотношения, связывающее их, или правила, позволяющие предсказать, когда появится следующее простое число, то в первую очередь нам необходимо иметь довольно большой набор простых чисел. В приведенном ниже списке, полученном с помощью решета Эратосфена, можно видеть простые числа из первой тысячи натуральных чисел.

С первого взгляда видно, что простые числа совершенно непредсказуемы. Например, между 1 и 100 простых чисел больше, чем между 101 и 200. Всего в первой тысяче 168 простых чисел. Можно предположить, что если продолжить нашу таблицу, то с каждой тысячей количество простых чисел будет увеличиваться. Но это не так. Уже известно, что, например, среди тысячи чисел между 10100 и 10100 + 1000 находится лишь два простых числа. И эти числа состоят более чем из ста цифр!

Казалось бы, чтобы найти закономерность, надо составить таблицу, которая содержит все простые числа. Все? А что, если их очень много? Хотя, имея в распоряжении современные методы, можно проделать с числами всевозможные тесты, позволяющие найти закономерности. Ведь понятно, что в случае конечных множеств, даже очень больших, закономерность может быть найдена или, по крайней мере, можно придумать правило, которое для данного множества будет работать. Однако ситуация радикально меняется, если мы имеем дело с бесконечными множествами, поэтому мы должны сначала выяснить, является ли множество простых чисел бесконечным. Эта задача также была решена Евклидом. Его метод так остроумен, элегантен и прост, что стоит рассмотреть его подробнее.

Возьмем ряд последовательных простых чисел, например: 2, 3, 5.

Затем перемножим их:

2 х 3 х 5 = 30.

Теперь добавим к результату единицу:

2 х 3 х 5 + 1 = 30 + 1 = 31.

Ясно, что если разделить 31 на любое простое число из этого ряда — 2, 3, 5, — то в остатке получится 1:

31/2 = 15 + 1

31/3 = 10 + 1

31/5 = 6 + 1.

Это означает, что число 31 не делится на наши числа. Это справедливо и в общем случае: если взять ряд последовательных простых чисел, перемножить их и добавить единицу, то полученное число не будет делиться ни на одно из исходных простых чисел. Этот простой факт и лежит в основе доказательства Евклида.

Число 31 тоже простое число, но его нет в первоначальном списке, который, следовательно, является неполным. Возьмем следующий ряд чисел в качестве примера:

{2, 3, 5, 7, 11, 13}.

Перемножим их и добавим единицу:

2 х 3 х 5 х 7 х 11 х 13 + 1 = 30 030 + 1 = 30 031.

Результат не является простым числом, так как может быть разложен в произведение двух других чисел:

30 031 = 59 х 509.

Евклид уже доказал, что любое натуральное число может быть единственным образом разложено в произведение простых множителей. В случае с числом 30 031, которое является составным числом, ясно, что для его разложения в произведение простых множителей чисел в списке {2, 3, 5, 7, 11, 13} будет недостаточно, то есть этот список неполон.

Мы пришли к следующему выводу: каким бы ни был первоначальный ряд простых чисел, при их перемножении и добавлении единицы получается новое число одного из двух типов:

1) простое число, которого нет в списке;

2) составное число, при разложении которого на простые множители получаются простые числа, не входящие в список.

Таким образом, первоначальный ряд простых чисел всегда является неполным, если он не является бесконечно длинным.

К сожалению, этот метод не позволяет найти все простые числа, хотя он является важной отправной точкой, так как указывает на масштаб проблемы и позволяет разрабатывать различные стратегии для ее решения. Можно было бы подумать, что не так уж важно доказывать, что множество простых чисел бесконечно, ибо это подсказывает нам интуиция. Однако с простыми числами нужно быть очень осторожными, ведь они настолько «редко» встречаются, как будто могут закончиться в любой момент. Тем не менее, теорема Евклида убедительно доказывает, что этого не произойдет.

Глава 2

Простые числа: ускользающие правила

Как мы уже говорили, простые числа представляют из себя одну из важных тем, которые возвращают нас к самым истокам математики, а затем по пути возрастающей сложности приводят на передний край современной науки. Таким образом, было бы очень полезно проследить увлекательную и сложную историю теории простых чисел: как именно она развивалась, как именно были собраны факты и истины, которые в настоящее время считаются общепринятыми. В этой главе мы увидим, как целые поколения математиков тщательно изучали натуральные числа в поисках правила, предсказывающего появление простых чисел, — правила, которое в процессе поиска становилось все более и более ускользающим. Мы также подробно рассмотрим исторический контекст: в каких условиях математики работали и в какой степени в их работе применялись мистические и полурелигиозные практики, которые совсем не похожи на научные методы, используемые в наше время. Тем не менее медленно и с трудом, но была подготовлена почва для новых воззрений, вдохновлявших Ферма и Эйлера в XVII и XVIII вв. Эти теории мы подробно рассмотрим в следующей главе.

Как и в истории математики в целом, с великими открытиями в теории простых чисел связаны имена нескольких человек. Но эти математики не смогли бы достичь таких результатов без богатого наследия, оставленного предшествующими учеными: гении не появляются из ниоткуда. Поэтому мы не должны игнорировать ту систему воззрений, на которой это наследие было построено, а также культурные традиции, которые помогли добиться таких научных результатов.

В 1930 гг. специализированные книжные магазины начали продавать учебники математики ранее неизвестного автора Николя Бурбаки. Эти книги сразу завоевали определенный успех в математическом сообществе. Среди прочего они содержали первое хорошее изложение теории математического анализа.

Однако их цель заключалась не только в обеспечении рынка новыми учебниками, но и в объединении отдельных областей математики, например, алгебры и анализа, где царил хаос из-за огромного количества новых результатов, полученных за последние годы. Но многие были удивлены, узнав, что математика Николя Бурбаки никогда не существовало и что этот псевдоним выбрала для себя небольшая группа математиков, в числе которых были Анри Картан (1904–2008) и Андре Вейль (1906–1998), решившие из благих побуждений реконструировать математику.