Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы - Хавьер Фресан

Хавьер Фресан

«Мир математики»

№ 22

«Сон разума

Математическая логика и ее парадоксы»

Посвящается Хосе Антонио Паскуалю и Розе Наварро Дюран

Предисловие

Супруги спорят между собой: «Ты всегда мне перечишь», — говорит жена. «Это не так», — возражает муж. «Видишь? Ты сам же это подтверждаешь», — снова критикует его жена. «Милая, ты права, я всего лишь тебе перечу», — признает муж в попытках положить конец спору. «Вот! Ты сам в этом признался!» — кричит жена и хлопает дверью. От подобных сцен не застрахован ни один, даже самый счастливый брак. Если бы философ и математик Бертран Рассел никогда не переживал подобные моменты, он бы не женился четыре раза. И все же его семейные ссоры, должно быть, завершались совершенно не так, как у других людей: после фразы «Ты сам же это подтверждаешь» Рассел, должно быть, помолчал несколько секунд и, сказав: «Да, дорогая, это очень интересно», закрылся в своем кабинете.

Зачем? Чтобы подумать об утверждениях, которые описывают сами себя, об истинном и ложном и осознать парадокс, который ставил под сомнение то, что математика последних двух тысяч лет является завершенным воплощением «сна разума».

Парадокс Рассела — один из главных действующих лиц этой книги, однако сначала мы расскажем о том, как открытие неевклидовой геометрии радикально изменило аксиоматический метод, и о том, что противоречие, положившее конец «счастливым и спокойным будням» Рассела, берет начало в традиции, восходящей, по меньшей мере, к Эпимениду Критскому. Парадокс Рассела был бы обычной математической диковинкой, если бы он не породил множество новых вопросов. Сначала мы поговорим о решении этого парадокса, которое предложил Давид Гильберт — один из умнейших людей своего времени. В течение 30 лет он сохранял уверенность, что в один прекрасный день математика навсегда освободится от парадоксов. Это же хотел доказать и юный Курт Гедель, однако он обнаружил, что в арифметике существуют истинные высказывания, которые невозможно доказать.

С того момента как Гёдель объявил о своем открытии на конференции в Кёнигсберге в сентябре 1930 года, его теоремы о неполноте продолжают удивлять специалистов в точных и гуманитарных науках. Некоторые сочли теоремы Гёделя знаком поражения разума, хотя преимущество в этой битве изначально было на его стороне, другие видели в них неоспоримое доказательство превосходства человека над машинами. Однако лишь те, кто в полной мере понял суть статей Гёделя, смогли вывести логику на новый уровень. Гениальный Алан Тьюринг — человек, взломавший дьявольские шифры нацистов, смог создать первые компьютеры, дав теоремам о неполноте новое толкование. Обо всем этом и о многом другом пойдет речь в этой книге.

Мы решили не ограничиваться нулями и единицами машин Тьюринга, а попытались сделать еще один шаг вперед и описать множество оттенков одного из последних «снов разума» — нечеткой логики.

Я хочу поблагодарить редакцию издательской компании RBA за предложение написать такую книгу. Именно слова «изложить популярным языком», упомянутые в одном из писем редактора, побудили меня начать каждую главу с небольшой художественной зарисовки. Без историй моей подруги Лауры Касильес, этой Шахерезады XXI века, я никогда не смог бы связать нечеткую логику и десерт в японском ресторане. Эпиграф к пятой главе родился благодаря Патрисии Фернандес де Лис, очарованной личностью Алана Тьюринга. Подробные комментарии Хесуса Фресана, Давида Гарсеса, Мигеля Эрнаиса, Виктории Лей Вега де Сеоане, Хавьера Мартинеса и Лус Рельо помогли мне существенно улучшить книгу.

Также я благодарен Марии Агирре Рокеро, Луису Аскарате, Ноэлю Гарридо, Хено Галарса, Марии Анхелес Леаль, Карлосу Мадриду, Хосе Марии Матеос, Гильермо Рей, Роберто Рубио, Марии Хосе Солер, Лукасу Санчесу и Микелю Тамайо за ценный вклад, который они внесли в создание этой книги.

Глава 1

Аксиоматический метод

Со времен греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство».

Николя Бурбаки

Энтузиазм, с которым адвокат Тауринус разорвал конверт, не теряя времени на поиски ножа, сменялся разочарованием по мере того, как он строчка за строчкой читал убористо исписанные две страницы. В этом письме, полученном одним ноябрьским утром 1824 года, содержался ответ Карла Фридриха Гаусса на заявление об открытии чрезвычайной важности — доказательстве пятого постулата Евклида.

К тому времени не осталось такого раздела физики и математики, куда Гаусс, которому исполнилось почти пятьдесят, не внес бы свой вклад, за что получил титул princeps mathematicorum — «король математиков». Однако ни в одной из его работ не был затронут важнейший вопрос того времени: верен ли пятый постулат? Можно ли через точку, не лежащую на данной прямой, провести одну и только одну прямую, параллельную данной? Ответ на этот вопрос в некотором роде позволил бы понять, какую форму имеет наш мир.

История Евклида и его труда, «Начал», где он изложил свои идеи, восходит к 300 году до н. э. Именно тогда этот древнегреческий математик, о котором нам почти ничего не известно, составил учебник по геометрии, где систематизировал все знания, которые до этого из уст в уста передавались пифагорейцами и учениками Платона. В то время как над входом в Академию Платона можно было прочесть фразу «Да не войдет сюда не знающий геометрии», «Начала» Евклида были предназначены для неподготовленного читателя и помогали понять науку о формах и фигурах с помощью простейших формулировок. Чтобы сделать свой труд более понятным и одновременно подчеркнуть четкость и строгость геометрии, Евклид начал изложение с ряда определений и аксиом, из которых, запасясь терпением, логически можно было вывести любое из сотен предложений, записанных в книге. Возможно, создание никакого другого учебника не имело столь радикальных последствий для развития всей человеческой мысли на протяжении последующих двух тысяч лет.

Евклид на картине Рафаэля «Афинская школа». Греческий математик изображен в окружении учеников, с циркулем в руках.

В словарях аксиома определяется как истина, не требующая доказательства ввиду своей очевидности. В этом смысле аксиомы являются выводами, к которым без особых усилий может прийти любой человек, даже далекий от цивилизации. Евклид проводил различие между общими утверждениями и постулатами: в то время как аксиомы вида «равные одному и тому же равны и между собой» применимы как к правильным многоугольникам, так и к богам, постулаты являются исключительно частью геометрии. Александрийскому мудрецу хватило пяти постулатов, на которые опирались «Начала». Первые три постулата гласили, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой и что из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. Четвертый постулат гласил, что все прямые углы равны между собой, а согласно пятому, в размышлениях над которым Тауринус провел много месяцев, если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Две прямые пересекаются в той части плоскости, где углы меньше двух прямых.

Возможно, что первое впечатление современного читателя будет таким же, как и у современников Евклида: пятый постулат не столь очевиден, как предыдущие, и чтобы понять его, не обойтись без карандаша и бумаги. Именно поэтому очень скоро геометры начали ставить под сомнение его принадлежность к аксиомам и пытались доказать его исходя из остальных постулатов. Однако все подобные попытки оставались безрезультатными, хотя и позволяли получить утверждения, эквивалентные пятому постулату, которые помогали лучше понять его следствия. Наиболее известные следствия пятого постулата гласят, что сумма углов треугольника равна 180°, а через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Независимо от точной формулировки постулата о параллельности прямых ученые сомневались, является ли он самостоятельным относительно других постулатов или же, напротив, выводится из них с помощью искусных рассуждений и его можно исключить из списка аксиом. Через эти сомнения прошли все греческие и арабские комментаторы «Начал» и исследователи эпохи Возрождения.

Каково же было удивление Франца Адольфа Тауринуса в то ноябрьское утро, когда он, вместо того чтобы, превзойдя лучшие умы в истории, довольствоваться заслуженной славой, получил письмо, в котором Гаусс признавался, что после тридцати лет размышлений пришел к выводу: может существовать геометрия, в которой пятый постулат не выполняется. Однако эту новую, неевклидову науку следовало сохранять в тайне до тех пор, пока не будут уточнены все детали ряда теорем, которые, казалось, противоречили общепринятым убеждениям, незыблемым на протяжении двух тысячелетий. Новую геометрию не приняли бы те, кто считал, что треугольники и круги, описанные в книге природы, выглядят именно так, как их описал Евклид, и никак иначе. Ведь, подобно Аристотелю для схоластиков, Евклид был не просто человеком, но источником почти священного знания.