Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы - Хавьер Фресан

* * *

ДИАЛОГ ИЗ ФИЛЬМА «АГОРА»

(РЕЖИССЕР АЛЕХАНДРО АМЕНАБАР, АВТОР СЦЕНАРИЯ МАТЕО ХИЛЬ, 2009)

Гипатия: Синезий, каково первое правило Евклида?

Синезий: Почему ты спрашиваешь меня?

Гапатия: Просто ответь мне.

Синезий: «Равные одному и тому же равны и между собой».

Гипатия: Хорошо. Разве не подобны мне вы оба?

Синезий: Да.

Гипатия: А ты, Орест?

Орест: Да.

Гипатия: Хочу сказать всем, кто находится в этой комнате: у нас больше сходств, чем различий, и что бы ни произошло на улицах, мы останемся братьями и сестрами. Мы братья и сестры. Запомните, что ссоры — удел простолюдинов и рабов.

Афиша фильма «Агора», главной героиней которого является Гипатия Александрийская.

* * *

Так могла бы начаться история, основанная на реальных событиях, в которой рассказывалось бы о Гауссе (1777–1855), измеряющем размеры многокилометрового треугольника, вершинами которого стали три горы в Германии. Целью эксперимента было определить, является геометрия пространства евклидовой или нет. По ходу истории к «королю математиков» присоединились бы другие действующие лица, в частности венгр Янош Бойяи (1802–1860) и русский математик Николай Лобачевский (1792–1856), которые при публикации своих открытий не испытывали таких опасений, как Гаусс.

В аристократических салонах ученые Европы восхищали бы публику, демонстрируя макеты удивительных поверхностей, на которых сумма углов треугольника была меньше 180°. Некто наверняка прервал бы одну из таких демонстраций, вскричав «Евклид умер!», а тот, кому были чужды революционные настроения, схватился бы за голову, потому что «никто не может одновременно служить двум господам: если геометрия Евклида истинна, то нужно исключить неевклидову геометрию из списка наук и поместить ее рядом с алхимией и астрологией»[1].

Однако на страницах книги, которую читатель держит в руках, рассказывается другая история. Она также начинается с открытия новой геометрии, но ее развязка еще более неожиданна: речь пойдет о первых экспериментах по созданию искусственного интеллекта и компьютерах. Неевклидовы модели не просто открывают путь в новые миры — важнейшее следствие их существования лежит в сфере философии. Евклид выбрал свои аксиомы потому, что их истинность была очевидной.

Тем не менее когда ученые обнаружили, что на некоторых поверхностях через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных одной и той же прямой, а на других поверхностях нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной, вопрос о том, какие аксиомы являются истинными, утратил смысл. Почему постулат о параллельности прямых должен быть более истинным, чем постулаты, отрицающие его? В действительности корректность того или иного постулата будет зависеть только от того, какие объекты мы изучаем.

Альберт Эйнштейн (1879–1955) сумел извлечь пользу из сложившейся ситуации и благодаря неевклидовой геометрии решил задачу, не дававшую покоя самому Исааку Ньютону (1643–1727). Согласно закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном в 1685 году, два тела притягиваются друг к другу с силой, которая увеличивается с ростом произведения их масс и с уменьшением квадрата расстояния между ними. Этот закон позволил описать движение планет и траекторию падения яблок с деревьев, однако важнейший вопрос по-прежнему оставался без ответа: как может Земля воздействовать на Луну, если их разделяет почти 400 тысяч километров? Действие, совершаемое на расстоянии, считалось чем-то относящимся к алхимии и ни в коем случае не могло быть принято научной школой того времени. Чтобы преодолеть это препятствие, был даже воскрешен эфир, упоминавшийся в греческой мифологии, — летучая субстанция, заполняющая промежутки в пустоте, благодаря которой сила тяготения распространяется от одного тела к другому. Однако различные эксперименты поставили под сомнение существование эфира или чего-то подобного.

И тогда на сцену вышел Эйнштейн. Любой может представить себе, что произойдет с простыней, которую натянули два человека, если в ее центр бросить мяч, однако предположить, что точно так же ведут себя планеты в космосе, смог лишь этот гениальный сотрудник патентной конторы в Берне. Тело столь большой массы, как Земля, искажает пространство вокруг себя, и гравитация есть не что иное, как мера кривизны пространства. Если маленький шарик бросить на простыню, деформированную под весом мяча, он немедленно скатится к ее центру. Аналогично, тело в состоянии свободного падения притянется к поверхности Земли в результате искажения пространства вокруг нее. Если тело находится далеко от Земли и при этом движется, как, например, Луна, то благодаря искажению пространства оно не притянется к Земле, а будет удерживаться на земной орбите. Таким образом, в той геометрии, где гравитация является мерой кривизны пространства, пятый постулат Евклида не выполняется.

Графическое изображение деформации пространства, вызванной силой земного тяготения.

Эйнштейна совершенно не волновало, что его теория относительности разрушила мечты о евклидовом космосе, поскольку со временем он понял, что геометрия носит сугубо формальный характер. В первой главе книги «О специальной и общей теории относительности» — научно-популярном изложении результатов своих исследований, опубликованном в 1920 году, — Эйнштейн объясняет, что геометрия основана на ряде понятий («точка», «плоскость» и «прямая»), которые мы четко представляем себе, а также на определенных простых предложениях, аксиомах, которые кажутся нам истинными, если трактовать их согласно нашим представлениям о понятиях геометрии, к которым они относятся. Исходя из этих основных принципов остальные предложения доказываются методом дедукции: если все промежуточные рассуждения корректны, то истинность вывода зависит исключительно от истинности исходных посылок. Таким образом, чтобы ответить на вопрос, какую форму имеет наш мир, необходимо знать, верны пять постулатов Евклида или нет. Однако найти ответ на этот вопрос методами геометрии нельзя. Более того, этот вопрос не имеет смысла.

Эйнштейн продолжал: бесполезно пытаться доказать, действительно ли через две точки можно провести только одну прямую. Все, что нам известно, — это то, что в геометрии идет речь о понятиях «точка» и «прямая линия», которые связаны следующим образом: две различные «точки» определяют единственную «прямую».

Чтобы спор об истинности аксиом имел смысл, сначала нужно установить их соответствие с реальностью: если всякий раз, когда Евклид упоминает «точку» и «прямую линию», мы будем трактовать эти понятия привычным нам способом, то аксиома «через две точки можно провести прямую» будет корректной, и мы сможем подтвердить ее истинность экспериментально. Однако ничто не указывает, что в геометрии эти понятия нужно понимать точно так же, как и в обычной жизни, — напротив, геометрия есть не более чем множество абстрактных идей и отношений между ними.

Одна из последних фотографий Альберта Эйнштейна, сделанная около 1950 года.

Рассмотрим пример, который впервые упоминается в статьях итальянского геометра Эудженио Бельтрами (1835–1900). Пусть пространство, в котором находятся объекты, заключено внутри круга (не включая его границу). Предложим следующее простое соответствие: когда Евклид говорит о «точке», мы будем представлять точки внутри круга, а когда он говорит о «прямой линии», мы будем представлять себе отрезки, начало и конец которых лежат на границе круга. В такой трактовке две «точки» определяют единственную «прямую линию» и, следовательно, первый постулат Евклида будет выполняться. Перед тем как рассмотреть пятый постулат, напомним, что две «прямые» параллельны, если они никогда не пересекаются.

Возьмем произвольную «точку» внутри круга, например его центр, и произвольную «прямую линию». Соединив «точку» с концами отрезка («прямой линии»), получим две «прямые», которые проходят через нее и параллельны исходной прямой, так как гипотетические точки пересечения этих прямых находятся на границе круга, а она не принадлежит пространству! Следовательно, в модели Бельтрами постулат о параллельности прямых не выполняется.

Неевклидова модель Эудженио Бельтрами.