Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - Энрике Грасиан

Великие математики, такие как Ферма, Мерсенн, Эйлер и Рамануджан, обладали чудесным даром «видеть» мир чисел. Эта способность позволила им открыть такие связи, которые только они могли заметить. Но доказательство этих соотношений часто оставалось за пределами их возможностей, а иногда за пределами их интересов.

* * *

ЛЮДИ-КАЛЬКУЛЯТОРЫ

Люди-калькуляторы появились в XIX в. Для развлечения толпы они выполняли на сцене арифметические вычисления в уме. Вскоре они стали модными и выступали в европейских и американских театрах, привлекая зрителей своими удивительными способностями. Зера Колберн, один из первых профессиональных калькуляторов, история которого достоверно известна, родился в Каботе, штат Вермонт (США), в 1804 г. Однажды его попросили умножить 21734 на 543. Почти сразу же он дал ответ: 11801562. Когда кто-то из зала спросил его, как он это сделал, он ответил: «Я увидел, что 543 в три раза больше 181. Сначала я умножил 21734 на три, а затем умножил результат на 181». (Обычно ему требовалось всего несколько секунд для умножения пятизначных чисел.) Это произошло в 1812 г., когда Колберну было всего восемь лет.

Глава 3

Новые парадигмы

В середине XVII в. происходил подъем многих областей науки, которая в то время вышла за пределы традиционных учебных заведений. Тогда уже существовали многие европейские университеты, являвшиеся центрами развития научных знаний, но они не спешили переходить к новым способам познания. Это было серьезной проблемой для тех, кто желал заниматься научными исследованиями вне академических структур, потому что только сотрудники учебных заведений могли получать зарплату за свою работу. Наступил период меценатства, когда богатые дворяне и помещики гордились тем, что поддерживают великих мыслителей. Таким образом их имена оказывались связанными с новыми идеями и открытиями.

Большинство биографов того времени упоминали не только имена великих ученых, но и их покровителей. Однако временами возникали проблемы с общением ученых между собой.

Тогда появились специализированные учреждения для обеспечения научных коммуникаций. Одним из них являлась Французская академия наук, основанная в 1666 г. Людовиком XIV по предложению Жан-Батиста Кольбера, возникшая в монашеской келье парижского монастыря. В этой келье жил отец Мерсенн.

Мерсенн родился 8 сентября 1588 г. в Уазе (в наши дни это департамент Сарта). О первых годах его жизни известно немного. Мы знаем, что в 1604 г. он поступил в иезуитский коллеж в Ла-Флеш (основанный в 1603 г. Генрихом IV), где учился в течение года. Там он близко сошелся с другим учеником коллежа, Рене Декартом, дружбу с которым пронес через всю жизнь.

В 1609 г. Мерсенн начал изучать теологию в Сорбонне, а через два года, окончив университет, присоединился к францисканскому ордену «минимов».

В 1612 г. он был рукоположен в священники монастыря Благовещения в Париже. С 1614 по 1618 гг. преподавал философию в Неверском монастыре. Затем Мерсенн вернулся в свою келью, где оставался до самой смерти 1 сентября 1648 г. Желая служить науке до конца, Мерсенн написал в завещании, чтобы его тело передали на медицинский факультет для анатомических исследований.

Первые работы Мерсенна носят чисто богословский характер и включают следующие сочинения: «Рассуждения на Книгу Бытия» (1623), «Истина науки против скептиков и пирроников» (1625), «Теологические, физические, моральные и математические вопросы» (1634). Один из его научных трудов, «Всеобщая гармония» (1636), содержит формулу, связывающую длину струны и высоту звука, который она издает при колебании.

Эта формула позволила ему создать музыкальный строй, где каждая октава делится на математически равные интервалы. Тем самым ученый уничтожил пифагорову комму (разницу между суммами квинт и октав в пифагоровом строе) и заложил основы величайшей революции в истории музыки — хроматического, или равномерно темперированного, строя.

Марен Мерсенн (1588–1648).

* * *

МОНАШЕСКИЙ ОРДЕН «МИНИМОВ»

Само название ордена говорит о том, что его члены обязаны придерживаться строгих аскетических практик. Целью ордена было избегать любых доктрин, которые провозглашают излишне строгие убеждения и правила поведения. И действительно, единственное, что члены ордена категорически не принимали, был атеизм. По сути, они посвящали себя молитве, науке и преподаванию и следили за тем, чтобы их религиозные убеждения не мешали их научной и педагогической деятельности. Доказательством этого является горячая поддержка Мерсенном идей Галилея.

* * *

Величайшей чисто математической работой Мерсенна является трактат «Физико-математические размышления» (1644), в котором появляются знаменитые простые числа, названные его именем. Во введении Мерсенн пишет, что для ряда простых чисел от 2 до 257 число 2Р — 1 тоже является простым, если р имеет одно из следующих значений:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Если число 2 возвести в степень, равную последнему числу из этого списка, то получится число, состоящее из 77 цифр. До сих пор остается загадкой, как Мерсенну удалось доказать, что полученное число является простым, имея в своем распоряжении лишь методы вычислений того времени.

Легко показать, что если 2Р — 1 является простым числом, то и р должно быть простым (или, что то же самое, если р не является простым, то и 2Р  — 1 не будет простым). Этот результат, который уже был известен в то время, привел Мерсенна к вопросу: что произойдет, если число р, которое уже является простым, подставить в это выражение? В то время было также известно, что 2Р — 1 является простым числом для значений р = 2, 3, 5, 7, 13, 17 и 19, но не для р = 11.

Прошло 100 лет, прежде чем Эйлеру удалось доказать, что 231 — 1 является простым числом. В 1947 г. был наконец получен полный список: который показывает, что изначальный список Мерсенна содержал два неправильных числа, и в нем не хватало еще трех. Тем не менее эти числа продолжают называть «числами Мерсенна», и в настоящее время они играют важную роль в так называемых «тестах простоты» — алгоритмах, определяющих, является ли число простым.

р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127,

Мерсенн изучал колебания струн и создал музыкальный строй, где октава делится на равные интервалы.

* * *

ЦЕНТР НАУЧНОЙ МЫСЛИ

Маленькая келья, в которой Мерсенн провел последние 30 лет жизни в монастыре «минимов» рядом с Пале-Рояль, стала средоточием европейской науки. Считалось даже, что сообщить Мерсенну о своем открытии было равносильно распространению публикации по всей Европе.

После его смерти в келье были обнаружены документы, подтверждающие, что Мерсенн поддерживал исследования и вел переписку с 78 респондентами, среди которых были такие известные ученые, как Торричелли, Декарт, Паскаль, Гассенди, Роберваль, Богран и Ферма.

* * *

Ферма (1601–1665) стал настоящей легендой в мире математики. Его открытия, особенно в области теории чисел, основателем которой он считается, снискали ему славу «князя математиков-любителей». Кроме того, он в совершенстве владел классическими языками, латинским и греческим, и большинством европейских языков, на которых говорили в то время.

Ферма был богат и знатен, что позволило ему в полной мере предаваться своей страсти к числам. Он родился в богатой семье, и его юридическое образование позволило ему получить должность представителя местных властей в Тулузе. Одним из требований к кандидату на этот пост был отказ от всех видов социальной деятельности, с тем чтобы избежать любых подозрений в коррупции. Ферма женился на Луизе де Лонг, дальней родственнице матери, и у них было трое детей. Старший, Клеман-Самуэль, позже издал работы отца, а две дочери Ферма стали монахинями.

Ферма почти никогда не путешествовал, только один раз он был в Париже, где по рекомендации влиятельного французского математика Пьера де Каркави (1600–1684) встретился в монастыре с отцом Мерсенном.

Некоторые люди любят выращивать цветы и тратят много времени на выведение новых сортов из семян, привезенных из дальних стран, или на создание гибридов, которые иногда приносят приятные сюрпризы. Ферма выводил новые сорта чисел.

Однажды утром он словно по мановению волшебной палочки мог открыть новый вид чисел, что для обычных людей казалось магией. В отличие от других математиков, которые скрывали результаты своей работы, Ферма делился ими со всеми, хотя почти никогда не объяснял, как он их получил. Утверждение, что «любое число вида 4n + 1 является суммой двух квадратов», было, например, одним из многих результатов, которые Ферма так и не объяснил, и только Эйлер в 1749 г. доказал этот факт после семи лет напряженной работы. Гаусс как-то сказал, что этот результат был «одним из самых красивых цветков, которые Ферма обнаружил в саду чисел».