Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

В описанном нами дедуктивном процессе для обоснования рассуждения используется логика. При этом, по существу, мы до сих пор применяем так называемую аристотелеву логику. Естественно спросить, почему заключения, полученные с помощью такой логики, должны иметь какое-то отношение к природе. Почему теоремы, доказанные человеческим разумом в тиши кабинетов, должны быть применимы к реальному миру, как, впрочем, и аксиомы, которые во многих случаях являются не более чем измышлениями того же человеческого разума? К вопросу о том, почему математика столь эффективна, мы вернемся в гл. XII.

Необходимо отметить еще одну важную характерную черту математики: использование специальных обозначений. Хотя страница, испещренная математическими символами, способна отпугнуть непосвященного, нельзя не признать, что без специальных обозначений математики погрязли бы в неразберихе слов. Все мы используем те или иные символы, когда прибегаем к множеству общепризнанных сокращений. Например, мы часто пишем N.Y., вместо New York (Нью-Йорк), и, хотя смысл таких аббревиатур нужно знать заранее, не подлежит сомнению, что краткость символики способствует постижению сути дела, в то время как словесное выражение перегружает разум.

Резюмируя, суть тех средств, которыми математики добывают факты о внешнем мире, можно сформулировать следующим образом: математика строит модели целых классов реальных явлений. Понятия, обычно идеализированные (независимо от того, почерпнуты они из наблюдений природы или являются плодами человеческого разума), аксиомы, которые также могут быть подсказаны физическими фактами или придуманы людьми, процессы идеализации, обобщения и абстракции, а также интуиция — все идет в ход при построении моделей. Доказательство цементирует элементы модели воедино. Наиболее известная модель — евклидова геометрия, но мы познакомимся со многими более изощренными и простыми моделями, рассказывающими нам гораздо больше о менее очевидных явлениях, чем это делает евклидова геометрия.

Наша цель состоит в том, чтобы показать, как прочно входит математика в современный мир не только как метод, позволяющий компенсировать несовершенство наших органов чувств, но и в гораздо большей степени как метод расширения того знания, которое человек способен обрести об окружающем мире. Как сказал Гамлет, «и в небе и в земле сокрыто больше, чем снится вашей мудрости, Горацио». Нам необходимо выйти за пределы знания, добытого чувственным опытом. Суть математики в отличие от чувственного восприятия состоит в том, что, опираясь на человеческий разум и способность человека к рассуждениям, она порождает знание о реальном мире, которое среднему человеку, даже если он воспитан на рациональной западной культуре, кажется полученным исключительно путем чувственного восприятия.

Важность математики для исследования реального мира подчеркивал Алфред Норт Уайтхед в своей книге «Наука и современный мир»:

Ничто не производит столь сильного впечатления, как то обстоятельство, что математика, чем выше она возносится в горные области все более абстрактной мысли, неизменно возвращается на землю, обретая все большее значение для анализа конкретного факта… Парадокс, окончательно установленный ныне, состоит в том, что именно предельные абстракции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.

И как заметил однажды Давид Гильберт, один из самых выдающихся математиков XX в., физика в наше время слишком важна, чтобы оставлять ее физикам.

III

Астрономические миры древних греков

Сократ. Прекрасно сказано. Начнем же хотя бы со следующего вопроса…

Протарх. С какого?

Сократ. Скажем ли мы, Протарх, что совокупность вещей и это так называемое целое управляются неразумной и случайной силой как придется или же, напротив, что целым правит, как говорили наши предшественники, ум и некое изумительное, всюду вносящее лад разумение?

Протарх. Какое же может быть сравнение, любезнейший Сократ, между этими двумя утверждениями! То, что ты сейчас говоришь, кажется мне даже нечестивым. Напротив, сказать, что ум устраняет все, достойно зрелища мирового порядка…{3}

Известно, что астрономические теории греков оказались нежизнеспособными. Тем не менее они впервые показали, как математика интерпретирует мир чувственных восприятий. Революцию в астрономии, у истоков которой стояли Коперник и Кеплер, мы сможем лучше оценить, обратившись сначала к тому, что ей предшествовало.

Нас интересует, как математика помогает понять явления и процессы реального мира, недоступные нашему чувственному восприятию, а если и доступные, то в неадекватной, сильно искаженной форме. Древние греки весьма преуспели в приложениях математики, создав «математическую астрономию» и проложив дорогу для еще более успешных математических теорий.

Греки придавали столь большое значение астрономии прежде всего по той причине, что именно в небесах они наблюдали самые сложные движения, по крайней мере те из них, которые заметны невооруженному глазу. Телескопов в те времена не существовало, но даже если бы они и были, вряд ли эти инструменты позволили бы древним грекам сколько-нибудь основательно разобраться в сложных и запутанных движениях небесных светил. Звезды и другие небесные тела появлялись, исчезали, возникали вновь, оставаясь непостижимыми и загадочными.

Хотя древние греки не были творцами астрономии в ее современном виде, именно они заложили ее основы и создали предпосылки для последующего развития теории. Греки явили миру образцы первых истинно математических рассуждений и положили начало пониманию космических явлений.

Интерес к небесным телам неизменно проявляли даже народы, стоявшие на самых низких ступенях общественного развития. Свет и тепло, изливаемые на Землю Солнцем, чарующая игра красок на восходе и закате, зыбкие переливы лунного света, яркий блеск планет, возникающих и исчезающих в различные времена года, величественное зрелище Млечного Пути, солнечные и лунные затмения — все это создавало впечатление чуда, рождало восторг, нескончаемые толки, а подчас повергало людей в ужас. Но сведения о периодах обращения Солнца и Луны, моментах появления и исчезновения планет и звезд в догреческие времена были весьма скудными. Информация была явно недостаточной для сколько-нибудь уверенных оценок размеров небесных тел и расстояний до них и тем более для того, чтобы можно было разобраться в хитросплетениях относительного движения планет.

В Древнем Египте и Вавилоне производились наблюдения главным образом Луны и Солнца; их результаты использовались для составления календаря либо предсказания сроков проведения сельскохозяйственных работ. Но ни египтяне, ни вавилоняне, равно как ни одна другая культура до греков, даже не пытались составить общую исчерпывающую картину движения небесных тел. Для этого им недоставало ни соответствующих познаний в математике, ни инструментов, позволявших вести сколько-нибудь точные наблюдения. В сложном поведении небесных тел древние народы догреческого периода не могли усмотреть ни плана, ни порядка, ни определенной закономерности. Природа в их глазах была капризно изменчивой и загадочной.

Древние греки мыслили иначе. Движимые неутолимой жаждой знания и почтением к разуму, они незыблемо верили в то, что наблюдения за небесными светилами позволят обнаружить порядок, скрытый за видимой сложностью движений планет. Мы увидим в дальнейшем, что многие из греческих астрономов выдвигали и отстаивали идеи и представления, которые через много веков вошли в золотой фонд современной космологии. Наша космология — не плод усилий какого-нибудь одного гения. Присущий ей элемент гениальности — результат напряженного труда многих поколений гениев.

Исследование небес началось в Милете, самом южном из двенадцати городов Ионии на западной границе Малой Азии. В VI в. до н.э. в Милете сложилась благоприятная обстановка, позволившая человеческому разуму раскрепоститься и вступить на путь осмысления окружающего мира — путь, сулящий немалые радости, но и нередко таящий в себе опасность. Ремесла и торговля принесли городу процветание. Благосостояние обеспечило гражданам Милета комфорт и досуг, дало возможность совершать далекие путешествия. Бывая в Египте, Вавилоне и других странах древнего мира жители Милета впитывали богатство и достижения восточной мысли. В своем материальном благополучии милетцы видели свидетельство того, что они способны многое свершить, не полагаясь на помощь богов, и постепенно наиболее смелые умы пришли к дерзкой мысли о том, что вся Вселенная в целом познаваема, доступна человеческому разуму.