Апология математики, или О математике как части духовной культуры - Владимир Успенский

Вернёмся, однако, к проблемам, не имеющим решения.

Глава 5. Квадратура круга

Выражение «квадратура круга» прочно вошло в язык в качестве красивого обозначения всякой не имеющей решения задачи. В таком своём значении это выражение используется в расширенном смысле — как метафора. В узком же, буквальном смысле квадратура круга означает некую пришедшую к нам из античности геометрическую задачу, относящуюся к задачам на построение.

Не одно тысячелетие задача о квадратуре круга оставалась костью в горле математики: не получалось ни её решения, ни доказательства отсутствия такового. Постепенно укреплялось мнение о невозможности решения, и в XVIII веке это мнение превратилось в убеждение настолько твёрдое, что академии наук разных стран заявили о прекращении приёма к рассмотрению трактатов, претендующих на решение. Наконец, в конце XIX века вопрос был закрыт: развитие математики позволило доказать, что решения и в самом деле не существует. Понимание того, в чём состоят задачи на построение, и в частности древняя задача о квадратуре круга, входит, на наш взгляд, в общекультурный минимум. Чтобы дать возможность читателю согласиться или не согласиться с этим тезисом, напомним необходимые сведения.

Геометрия требует чертежа, и античные математики делали такие чертежи. Самым удобным и дешёвым способом было чертить на песке. Архимед, величайший учёный древности (да и не только древности!), был убит римским солдатом в 212 году до н. э., во время Второй пунической войны, на Сицилии, в своих родных Сиракузах. По преданию, солдат застал его на песчаном пляже и, взбешённый его словами «Не трогай мои чертежи!», зарубил мечом. Основными элементами чертежей служили прямые линии и окружности. Для их вычерчивания имелись специальные инструменты. Таких инструментов было два: линейка, позволяющая проводить прямые, и циркуль, позволяющий проводить окружности. Под термином циркуль условимся понимать любое устройство, пригодное для заданной цели. Скорее всего, древнейший циркуль состоял из двух палок, соединенных верёвкой; одна палка («игла») втыкалась в песок в центре намеченной окружности, верёвка натягивалась, и второй палкой («писалом», «чертилом», «стилом») чертилась окружность с радиусом, равным длине верёвки. Задача на построение состояла в том, чтобы построить, то есть начертить, геометрическую фигуру с требуемыми свойствами. Вот простейший пример такой задачи: для заданного отрезка требуется построить его середину. Решение: для каждого из концов отрезка проводим окружность с центром в этом конце и с радиусом, равным длине отрезка; далее проводим прямую через те две точки, в которых наши окружности пересеклись; эта прямая пересечёт заданный отрезок в его середине. А вот формулировка задачи о квадратуре круга: для заданного круга требуется построить квадрат, равновеликий (то есть равный по площади) этому кругу. Неразрешимость квадратуры круга доказал в 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман. Рассказывают, что он завершил доказательство 12 апреля, в день своего тридцатилетия, и, спрошенный друзьями, отчего это он сияет так, словно решил проблему квадратуры круга, отвечал, что так оно и есть. Жена Линдемана была недовольна, что муж удовлетворен той славой, которую заслуженно принесла ему задача о квадратуре круга, и заставляла его доказывать Великую теорему Ферма. Он страдал, но вынужден был подчиняться. Он скончался в 1939 году и, пока был в силах, занимался Проблемой Ферма. Результатом были слабые публикации на эту тему.

Мы, разумеется, не собираемся здесь доказывать неразрешимость задачи о квадратуре круга. Можно было бы попытаться в доступных терминах наметить общее направление доказательства — но мы и этого делать не будем, потому что это вывело бы нас за пределы того, что мы считаем общекультурным математическим минимумом. А вот самоё формулировку обсудим. Казалось бы, что тут обсуждать, формулировка достаточно ясная. Сейчас мы увидим, что на самом деле её смысл нуждается в разъяснении. Приносим извинения тому читателю, который почтёт эти разъяснения занудными и излишними. Но надеемся встретить и иного читателя, который найдет здесь пищу для размышлений и оценит то обстоятельство, что именно математика является поставщиком такой пищи.

Каждая задача на построение предполагает наличие некоторой исходной геометрической фигуры и состоит в требовании указать способ, позволяющий построить новую фигуру, связанную с исходной указанными в задаче соотношениями. Так, в задаче о середине отрезка исходной фигурой был отрезок, а новой фигурой — точка, являющаяся его серединой; в задаче о квадратуре круга исходная фигура — круг, а новая — квадрат, имеющий ту же площадь. Вот ещё пример: по данной стороне построить правильный треугольник (то есть такой треугольник, у которого одинаковы все стороны и все углы). Исходной фигурой здесь служит отрезок, а новой фигурой — треугольник, у которого все стороны конгруэнтны этому отрезку. Надеемся, что читатель легко решит эту задачу. Можно построить и правильный семнадцатиугольник, но это уже не столь просто. А вот аналогичная задача о построении правильного семиугольника не имеет решения — это в конце XVIII века доказал один из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс (1777–1855). До Гаусса существование таких задач на построение, решить которые невозможно, было лишь правдоподобной гипотезой. Он же указал способ построения правильного 17-угольника. Вот ещё пример весьма известной и древней задачи на построение: задача о трисекции угла. В ней требуется для каждого угла построить другой угол, составляющий треть исходного. Для некоторых углов специального вида — например, для прямого угла — построение трети не составляет труда. Однако в середине XIX века про некоторые углы было доказано, что, оперируя линейкой и циркулем, построить их невозможно. Оказалось, в частности, что невозможно построить углы в 10 и 20 градусов и, следовательно, осуществить трисекцию углов в 30 и 60 градусов. Тем самым была установлена неразрешимость задачи о трисекции угла.

Итак, в каждой задаче на построение требуется указать некоторый способ построения. Когда такой способ предъявляется, как это было для задачи о середине отрезка, он, способ, обычно не вызывает сомнений. Но когда утверждается, что такого способа нет, как это утверждается для квадратуры круга или для трисекции угла, возникает необходимость уточнить, чего именно нет.

Всякий способ построения состоит в указании некоторой последовательности разрешённых операций. Последовательность эта — своя для каждой задачи. Сам же перечень разрешённых операций один и тот же для всех задач на построение. Он весьма невелик, и мы сейчас с ним познакомимся.

Прежде всего, это операции, связанные с линейкой. Читателя может удивить множественное число. Что ещё можно делать с линейкой, как не чертить прямую? А вот что: чертить луч, то есть полупрямую; чертить отрезок. Более точно: разрешается, приложив линейку к двум уже построенным точкам, начертить отрезок между этими точками; или луч, начинающийся в одной из этих точек и проходящий через другую; или прямую, проходящую через эти две точки. Господи! — воскликнет читатель, да это же и так ясно, стоило ли тратить слова на такую очевидность. Я благодарен читателю за это восклицание, потому что оно даёт возможность объяснить, почему стоило. Для этого рассмотрим ещё одну операцию, не менее простую для исполнения, чем проведение прямой через две точки, но, однако же, не входящую в перечень разрешённых: через данную точку провести касательную к данной окружности. Начертив окружность и взяв точку вне круга, читатель убедится, как легко провести касательную, используя реальную, деревянную или металлическую, линейку. Тем не менее в перечень разрешённых операций проведение касательной не включено. Мы только что прибегли к важному, как нам кажется, приёму обучения понятиям: надо не только приводить примеры вещей, входящих в объём вводимого понятия, но и контрпримеры вещей, в указанный объём не входящих. Так, чтобы на примерах объяснить, что такое чётное число, надо не только сказать, что числа 0, 2, 4, 6 и так далее являются чётными, но и сказать, что числа 1, 3, 5, 7 и так далее таковыми не являются; чтобы объяснить марсианину, что такое кошка, надо предъявить ему не только несколько кошек, но также и несколько собак, сказав, что они кошками не являются.

С циркулем связана такая операция. Установив иглу циркуля в уже построенную точку, а стило в другую уже построенную точку, разрешается начертить окружность. И даже более общо: установив иглу и стило в две уже построенные точки, разрешается, не меняя раствора циркуля, перенести иглу в третью уже построенную точку и начертить окружность.

Разрешается находить пересечения друг с другом уже построенных прямых, лучей, отрезков, окружностей и дуг окружностей (но не всяких дуг, а расположенных между двумя уже построенными точками).