Апология математики, или О математике как части духовной культуры - Владимир Успенский

При дальнейшем чтении я, к сожалению, обнаружил, что Кортасар предлагает некое рациональное объяснение изложенному им парадоксу; вот тут очевидное отличие Кортасара от его старшего соотечественника Борхеса (влияние коего Кортасар, несомненно, испытал): Борхес не стал бы искать рационального оправдания. «К сожалению» сказано потому, что поначалу мне показалось, что здесь выражена глубокая идея о возможности, хотя бы в фантазии, следующего эффекта: при очень большом количестве предметов это количество не меняется при добавлении или убавлении сравнительно небольшого их числа. И хотя, повторяю, приписывание Кортасару открытия и опубликования этого воображаемого эффекта оказалось ошибочным, я всё же буду называть его для краткости эффектом Кортасара; тем более что такое название полностью соответствует так называемому принципу Арнольда, установленному нашим выдающимся математиком Владимиром Игоревичем Арнольдом: если какое-либо явление или утверждение носит чьё-либо имя, то это означает, что оно не имеет своим автором носителя этого имени. Предположение, что эффект Кортасара имеет отношение не только к воображению, но и к реальности, может показаться бредом, но, как будет видно ниже, сформулированное в нём явление действительно имеет место, если очень большое становится бесконечным.

Бесконечное вообще следует — в понятийном аспекте — трактовать как упрощённое представление о конечном, но очень большом. А бывает ли вообще бесконечное количество предметов? Бывает ли оно в физической реальности — этого никто не знает. Количество звёзд во Вселенной — конечно оно или бесконечно? Мнения расходятся, и проверить, кто прав, довольно затруднительно. В реальности же идеальной — да, бывает. Например, бесконечен натуральный ряд, то есть ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4,… Предупредим для ясности, что в этой главе, вплоть до особого распоряжения, никаких других чисел рассматриваться не будет, а потому натуральные числа будут именоваться просто числами.

Натуральный ряд представляет собой, пожалуй, наиболее простой пример бесконечной совокупности, или, как говорят математики, бесконечного множества. И уже в нём можно наблюдать некоторые парадоксальные явления, в частности — нарушение древней философемы «Целое больше части». На это обратил внимание Галилей, описавший ситуацию с полной отчётливостью и наглядностью. В 1638 году вышла его книга «Беседы и математические доказательства…». Изложение, в духе тогдашнего времени, выглядело как запись бесед, которые в течение шести дней вели между собою вымышленные персонажи. В первый же день была затронута тема бесконечности, в том числе применительно к натуральному ряду. Послушаем, что говорит один из участников беседы, синьор Сальвиати:

«Сальвиати. ‹…› Мне пришёл в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращённых к синьору Симпличио, указавшему на затруднения. Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.

Симпличио. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на самого себя; таким образом числа четыре, девять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трёх на самих себя.

Сальвиати. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые, числа носят название сторон или корней; другие числа, не являющиеся произведениями двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь, если я скажу, что количество всех чисел вместе — квадратов и не квадратов — больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным; не так ли?

Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати. Если я теперь спрошу вас, каково число квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень — свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень — более одного квадрата.

Симпличио. Совершенно верно.

Сальвиати. Но если я спрошу, далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что оно равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются все числа. А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как ббольшая часть их не является квадратами».

«Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?» — в растерянности спрашивает еще один участник беседы, Сагредо. Возможны два выхода. Первый состоит в том, чтобы отказаться от сравнения бесконечных количеств по их величине и признать, что в отношении двух таких количеств не следует даже и спрашивать, равны ли они, первое ли больше второго, второе ли больше первого, — и то, и другое бесконечно, и этим всё сказано. Такой выход и предлагает Галилей устами Сальвиати. Но возможен и другой выход. Можно предложить общую схему сравнения любых количеств по их величине. В случае конечных количеств эта схема не будет расходиться с нашими привычками. Для количеств бесконечных она тоже, если вдуматься, не будет им противоречить — хотя бы потому, что каких-либо привычек оперирования с бесконечностями у нас нет. Именно этот второй выход и принят в математике. Забегая вперёд, укажем, что если к квадратам добавить сколько угодно не-квадратов, то полученная расширенная совокупность чисел будет равна по количеству исходной совокупности квадратов (эффект Кортасара). Можно, в частности, добавить все не-квадраты и получить тем самым совокупность всех чисел. Тем самым оказывается, что количество всех чисел действительно равно количеству квадратов — хотя квадраты составляют только часть чисел. Это явление — равенство по количеству совокупности и её собственной части — для конечных совокупностей невозможно, для совокупностей же бесконечных возможно, и сама эта возможность может служить одним из определений бесконечности.

Только что изложенное свойство бесконечных совокупностей не столь трудно для понимания, как это может показаться. И сейчас мы попытаемся его объяснить. Сама логическая конструкция проста, изящна и поучительна. Мы надеемся, что читатель согласится включить её в свой интеллектуальный багаж, причём в качестве носимой с собой ручной клади, а не тяжеловесного предмета, сдаваемого в багажное отделение.

Для начала перестанем избегать термина множество, как это мы делали до сих пор, стыдливо заменяя его синонимом «совокупность». Множество состоит из элементов, которых не обязательно много. (Это в русском языке слова «множество» и «много» однокоренные, а вот английское «set» и французское «ensemble» не несут на себе вводящего в заблуждение оттенка множественности.) Возможны множества, состоящие из одного только элемента, и даже пустое множество, вовсе не имеющее элементов. Зачем же рассматривать такие патологические образования, как пустое множество, спросит читатель. И мы ему ответим: это удобно. Удобно иметь право говорить, например, о множестве слонов в зоопарке города N, не зная заранее, есть ли в этом зоопарке хотя бы один слон. Какое множество ни взять, среди его частей присутствует и пустое множество: так, среди частей множества всех слонов земного шара присутствует не только множество слонов московского зоопарка, но и множество слонов любого зоопарка, слонов не имеющего. Во избежание недоразумений заметим, что пустое множество одно: пустое множество слонов и пустое множество мух представляют собою одно и то же множество. (Совершенно так же, как стакан газированной воды без вишневого сиропа не отличается от стакана газированной воды без апельсинового сиропа; сравнение понятно для тех читателей старших поколений, которые ещё помнят торговлю газировкой на улицах советских городов.)

Учение о сравнении количеств элементов в любых, а не только конечных, множествах целиком принадлежит великому немецкому математику и философу Георгу Кантору (1843–1918). Назвав Кантора немцем, мы всего лишь следовали укоренившейся традиции. Не вполне ясно, как его следует называть. Его отец родился в Дании, мать — в России. Сам он также родился в России, а именно в Санкт-Петербурге; в этом городе он провел первые одиннадцать лет своей жизни, о которых вспоминал с ностальгией. Вот, скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось выше, в главе 2, можно было, не испытывая сомнений, назвать французом: он всегда жил во Франции, ей служил и говорил по-французски; трудно представить, чтобы Ферма ощущал себя кем-то иным, а не французом. Кем ощущал себя Кантор — загадка. Его биографы указывают, что хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.