Принцесса или тигр - Рэймонд Смаллиан

11. Еще одно затруднение.

Крейг несколько задержался в описываемой лечебнице, поскольку его склонность к теоретическим рассуждениям и тут не дала инспектору покоя — внимание его привлекло еще несколько неясных вопросов. Например, ему было крайне любопытно узнать, объединялись ли все здравомыслящие обитатели лечебницы в один комитет, а также образовывали комитет те обитатели лечебницы, которые лишились рассудка. Не будучи в состоянии ответить на эти вопросы и исходя из условий 1–5 предыдущей задачи, он все же сумел доказать — причем лишь на основании условий 3, 4 и 5,— что обе эти группы не могут образовывать комитеты. Каким образом он это сделал?

12. Новое осложнение все в той же десятой лечебнице.

В конце концов Крейг сумел доказать еще одно утверждение, относящееся к обитателям этой больницы. Инспектор посчитал его весьма важным — ведь фактически оно позволило упростить решения двух последних задач. Само это утверждение заключалось в том, что для любых двух комитетов, комитета 1 и комитета 2, всегда должны найтись два обитателя Е и F, такие, что Е считает, будто F является членом комитета 1, а F полагает, будто Е состоит членом комитета 2. Каким образом Крейг доказал это утверждение?

13. Лечебница доктора Смолля и профессора Перро.

Однако с самыми большими странностями инспектор Крейг столкнулся в последней лечебнице, которую ему довелось посетить. Лечебницей этой руководили два известных врача — доктор Смолль и профессор Перро; кроме них в штате состояло еще несколько врачей. При этом здесь неукоснительно придерживались следующих правил. Если обитатель лечебницы считал, что он является пациентом, то его называли чудаком. Если же все пациенты считали, что данный обитатель чудак, а ни один из врачей его за чудака не принимал, то такого обитателя больницы было принято именовать оригиналом. Вдобавок Крейгу удалось выяснить еще два обстоятельства: 1) по крайней мере один из обитателей больницы был вполне нормальным и 2) во всей лечебнице строго выполнялось следующее условие:

Условие С. У каждого обитателя лечебницы имеется близкий друг. При этом для любых двух обитателей А и В справедливо следующее утверждение: если А считает, что В является оригиналом, тогда близкий друг этого А полагает, что В — пациент.

Вскоре после этого открытия инспектор Крейг решил в частном порядке побеседовать с больничным руководством в лице доктора Смолля и профессора Перро. Разговор с первым из них протекал так.

Крейг. Скажите, доктор Смолль, все ли врачи в вашей больнице в здравом уме?

Смолль. Я в этом абсолютно уверен.

Крейг. А как обстоят дела с пациентами? Все ли они безумны?

Смолль. По крайней мере один из них.

Крейга поразил последний ответ — уж очень он был осторожным. Конечно, если все больные в лечебнице лишены рассудка, то утверждение, что хоть один из них безумен, представляет собой несомненную истину. Но почему доктор Смолль был так сдержан в своем утверждении?

Затем Крейг побеседовал с профессором Перро; на этот раз разговор протекал следующим образом.

Крейг. Доктор Смолль утверждает, что по крайней мере один из здешних пациентов безумен. Это правда, не так ли?

Профессор Перро. Конечно, правда. Все пациенты тут безумны! Чем же мы руководим, по-вашему?

Крейг. А как обстоят дела с врачами? Все ли они нормальны?

Профессор Перро. По крайней мере один из них нормален

Крейг. А что вы скажете о докторе Смолле? Он-то хоть нормален?

Профессор Перро. Ну, разумеется! Как вы смеете задавать мне такой вопрос?

Только в этот момент Крейг осознал весь ужас положения! В чем же он заключался?

(Те, кто читал рассказ Эдгара Аллана По «Система доктора Смолля и профессора Перро», по всей видимости, догадаются, в чем дело, еще до того, как сумеют доказать правильность найденного решения; см. также примечание в конце этой главы.)

Решения

1. Докажем, что либо Джонс, либо Смит (правда, не известно, кто именно) должен оказаться либо лишенным рассудка врачом, либо пациентом, находящимся в здравом уме (правда, мы вновь не знаем, кем именно).

Так, например, Джонс может оказаться либо безумцем, либо нормальным человеком. Предположим сначала, что он находится в здравом уме. Тогда его утверждения истинны и, следовательно, Смит на самом деле является врачом. Далее, если Смит лишился рассудка, то это значит, что он является врачом, лишившимся рассудка. Если же Смит находится в здравом уме, тогда его ответ будет истинным; это в свою очередь означает, что Джонс является пациентом, и притом нормальным (поскольку мы предположили, что Джонс находится в здравом уме). Тем самым доказано, что если Джонс находится в здравом уме, тогда либо он является находящимся в здравом уме пациентом, либо Смит оказывается лишившимся рассудка врачом.

Предположим теперь, что Джонс безумен. Тогда его суждения неверны, откуда следует вывод, что Смит является пациентом. При этом, если Смит не лишился рассудка, то он будет пациентом, находящимся в здравом рассудке. Если же Смит безумен, его суждения ложны; это означает, что Джонс должен быть врачом, причем врачом, лишившимся рассудка. В свою очередь это доказывает, что если Джонс безумен, то либо он является лишившимся рассудка врачом, либо Смит должен быть находящимся в здравом уме пациентом.

Подведем итоги: если Джонс нормальный человек, то либо он находящийся в здравом уме пациент, либо Смит является лишившимся рассудка врачом. Если же Джонс безумен, тогда либо он лишившийся рассудка врач, либо Смит должен быть находящимся в здравом уме пациентом.

2. У этой задачи много решений. Простейшее из тех, что я смог придумать, заключается в том, чтобы обитатель больницы заявил: «Я не врач, обладающий здравым умом». Тогда говорящий должен быть находящимся в здравом уме пациентом. Мы можем доказать это следующим образом.

Лишившийся рассудка врач не может верить в то, что он не является врачом в здравом уме, поскольку это правда. Нормальный врач не может придерживаться ложного убеждения, будто он не является врачом, находящимся в здравом уме. Безумный пациент не может верить в то, что он не является врачом, находящимся в здравом уме (ведь безумный пациент на самом деле не является находящимся в здравом уме врачом). Поэтому говорящий является пациентом в здравом рассудке, так что его суждение о том, что он не есть находящийся в здравом уме врач, абсолютно справедливо.

3. Одним из подходящих для данного случая утверждений является, например, такое: «Я — лишившийся рассудка пациент». В самом деле, пациент, находящийся в здравом уме, не может придерживаться ложного убеждения, будто он пациент, лишившийся рассудка. Лишившийся же рассудка пациент не может верить в то, что он является пациентом, лишившимся рассудка. Следовательно, говорящий являлся не пациентом, а врачом. В то же время врач, находящийся в здравом уме, никогда не станет считать, будто он — лишившийся рассудка пациент. Поэтому говорящий должен быть лишившимся рассудка врачом, который придерживается ложного убеждения в том, что он является лишившимся рассудка пациентом.

4. Говорящий считает, что он пациент. Если он нормальный человек, тогда он действительно будет пациентом. Таким образом, он — пациент, находящийся в здравом уме, и никак не должен оставаться в психиатрической больнице. Если же говорящий не в своем уме, тогда его суждение неверно: это означает, что он должен быть не пациентом, а врачом. Следовательно, он оказывается лишившимся рассудка врачом и тоже никак не может состоять в штате больницы. Правда, мы не можем наверняка сказать, кем же будет говорящий на самом деле — находящимся в здравом уме пациентом или безумным врачом; однако, конечно же, в любом случае в психиатрической больнице ему не место.

5. Здесь ситуация оказывается совершенно иной! Именно потому, что говорящий лишь утверждает, будто он верит в то, что является пациентом, это вовсе не обязательно должно означать, что он действительно верит в то, что он пациент. Поскольку он говорит, что верит, будто является пациентом, тогда, будучи человеком искренним, говорящий в самом деле думает, что считает себя пациентом. Предположим теперь, что говорящий сошел с ума. Тогда все его суждения — в том числе и о собственных убеждениях — будут неверными, поэтому его уверенность в том, что он считает, будто является пациентом, указывает на то, что его убеждение в том, что он пациент, является ложным, и, следовательно, на самом деле он считает, что является врачом. Но поскольку он безумен и воображает себя врачом, то, значит, фактически он пациент. Итак, если говорящий сошел с ума, то он — лишившийся рассудка пациент. С другой стороны, предположим, что говорящий — нормальный человек. Поскольку он верит в это и считает себя пациентом, его убежденность в том, будто он пациент, является истинной. И так как говорящий уверен в том, что он пациент, то он и в самом деле является пациентом. Итак, если говорящий — нормальный человек, то он все равно должен оказаться пациентом. Мы видим, следовательно, что говорящий может быть как пациентом, находящимся в здравом уме, так и пациентом, лишившимся рассудка, так что у нас нет причин считать, будто бы в этой психиатрической лечебнице сложилась неблагоприятная обстановка. Обобщая сказанное, отметим следующие основные факты.