Принцесса или тигр - Рэймонд Смаллиан

На допросе А сообщил, что В находится в здравом уме, а В показал, что А лишился рассудка. Одновременно А заявил, что В является упырем, а В в свою очередь стал уверять, что А — человек.

Что можно сказать по поводу личностей А и В?

12. Два трансильванских философа.

Довольный, что со всеми жуткими делами покончено, Крейг удобно расположился в зале ожидания, предвкушая, как через четверть часа наконец-то сядет в поезд. Ему не терпелось поскорее возвратиться в Лондон! Но тут он сталневольным свидетелем спора между двумя трансильванскими философами, которые с жаром обсуждали следующую проблему.

Пусть мы имеем двух трансильванских близнецов, о которых известно что один из них является находящимся в здравом уме человеком, а другой — лишившимся рассудка упырем. Допустим, что вы встречаете одного из них и хотите выяснить, кто же он такой. Можно ли выяснить это с помощью определенного числа вопросов, требующих ответа «да» или «нет»? Первый философ утверждал, что не существует такого набора вопросов, с помощью которых это можно было бы сделать, поскольку на любой поставленный вопрос каждый из близнецов должен дать тот же самый ответ, что и его брат. В самом деле, пусть имеется вопрос, правильный ответ на который гласит «да». В этом случае нормальный человек, зная, что ответом на поставленный вопрос является «да», правдиво ответит «да». В то же время упырь, лишившийся рассудка, будет считать, что правильным ответом является «нет», и поскольку он всегда лжет, то также ответит на поставленный вопрос словом «да». Подобным же образом, если правильным ответом на поставленный вопрос окажется «нет», то нормальный человек так и ответит «нет», а упырь, находящийся не в своем уме, вообразив, что правильным ответом является «да», солжет и также скажет «нет». Следовательно, различить братьев с точки зрения их внешнего вербального[4] поведения не представляется возможным, несмотря на то, что их головы будут работать совершенно по-разному. «Таким образом, — утверждает первый философ, — не существует вопросов, с помощью которых можно установить, кем же являются близнецы на самом деле (разве что, может быть, с помощью детектора лжи)»

Второй философ не соглашался. Правда, он не высказывал никаких доводов в поддержку своей точки зрения, а только говорил:

«Позвольте мне задать несколько вопросов одному из братьев, и я скажу вам кто он!»

Крейгу, конечно, было бы интересно узнать, чем же завершился их спор, но тут как раз подали его поезд и он поспешил на посадку. Некоторое время Крейг, сидя в вагоне, размышлял, кто же из философов прав. Наконец он понял, что прав второй: в самом деле, встретив одного из близнецов, с помощью вопросов, требующих ответа типа «да—нет», вы действительно можете установить, с кем именно разговариваете, и без всякого детектора лжи. Остаются две проблемы:

1) Каково наименьшее число вопросов, которое нужнозадать одному из близнецов?

2) И что еще интереснее, где кроется ошибка в рассуждениях первого философа?

Решения

Установим сначала одно правило, которое будет использовано в дальнейшем при решении нескольких задач. Вот оно: если житель Трансильвании утверждает, что он человек, то он обязательно должен находиться в здравом уме; если же трансильванец говорит, будто является упырем, то он лишился рассудка. Чтобы доказать это, будем рассуждать так. Пусть трансильванец утверждает, что он человек. При этом его утверждение может оказаться либо истинным, либо ложным. Если его высказывание истинно, то он действительно человек, а поскольку истинные суждения высказывают только нормальные люди, то, следовательно, он в здравом уме. Если же его утверждение ложно, то он на самом деле упырь, а поскольку ложные суждения высказывают только упыри в здравом уме (ведь безумные упыри всегда высказывают истинные суждения, как и люди в здравом уме), то он и в этом случае оказывается в здравом уме. Это доказывает, что если трансильванец заявляет, будто он человек, то он обязательно находится в здравом уме независимо от того, является ли он человеком на самом деле или не является.

Пусть теперь житель Трансильвании утверждает, будто он упырь. Что из этого следует? Если, к примеру, это его заявление истинно, то, значит, он на самом деле упырь, однако мы знаем, что истинные суждения высказывают лишь упыри, лишенные рассудка Точно так же, если его утверждение ложно, тогда он человек, а поскольку ложные утверждения высказываются только людьми, лишившимися рассудка, то он безумен. Таким образом, каждый трансильванец, заявляющий, что он упырь, — сумасшедший.

Надеемся, теперь, читатель сам проверит, что любой трансильванец, который заявляет, будто он в здравом уме, является человеком, а любой трансильванец, утверждающий, что он сошел с ума, на самом деле упырь

Обратимся же непосредственно к решению наших задач.

1. Утверждение Люси может быть либо истинным, либо ложным. Если оно истинно, тогда обе сестры действительно сошли с ума. Значит, сама Люси также лишена рассудка, но лишенный рассудка трансильванец, который может высказать истинное утверждение, обязательно безумный упырь. Следовательно, если высказывание Люси истинно, то она — упырь.

Допустим теперь, что утверждение Люси ложно. Тогда хотя бы одна из сестер в здравом уме. Если это сама Люси, то, высказывая ложное утверждение, она должна быть упырем (ведь люди в здравом уме высказывают только истинные суждения). Если же допустить, что Люси помешалась, тогда нормальной должна оказаться другая сестра — Минна. И тогда Мина, противореча ложному заявлению Люси, высказала истину. Следовательно, Минна находится в здравом уме и высказывает истинные утверждения; значит, Мина — человек, а Люси и в этом случае должна оказаться упырем.

Значит, независимо от того, истинно или ложно заявление Люси, сама Люси упырь.

2. Выше мы установили правило, согласно которому любой житель Трансильвании, который заявляет, что он человек, должен находиться в здравом уме, а любой трансильванец, утверждающий, что он упырь, должен оказаться лишенным рассудка (см. обсуждение этого выше). Поскольку оба брата Лугози утверждают, что они люди, оба они в здравом уме. Поэтому Бела—старший высказывает истину, когда говорит, что его брат находится в здравом уме. Итак, Бела-старший в здравом уме и высказывает истинные суждения, значит, он человек. Следовательно, упырем оказывается другой браг — Бела-младший.

3. Поскольку Михаэль утверждает, будто он упырь, то он безумец, а так как Петер заявляет, что он человек, он в здравом уме. Итак, Михаэль сошел с ума, а Петер нормален; таким образом, психическое состояние обоих братьев различно. Поэтому второе утверждение Михаэля ложно, а поскольку Михаэль умалишенный, он человек (ведь упыри, лишившиеся рассудка, не высказывают ложных утверждений). Итак, Петер — упырь.

4. И отец, и сын одинаково отвечают на вопрос относительно своего психического состояния. Это означает, что оба они одновременно либо высказывают правду, либо лгут. Но поскольку только один из них человек, а другой упырь, то по состоянию своей психики они неизбежно должны различаться между собой. Действительно, если бы оба они находились в здравом уме, тогда тот, кто является человеком, высказывал бы истинные утверждения, а другой, то есть упырь, лгал, в результате чего они никогда не смогли бы высказать единое мнение. Если бы оба они были лишены рассудка, то человек делал бы ложные заявления, а упырь говорил бы правду, что опять не позволило бы согласовать их высказывания. Таким образом, правда, что по крайней мере один из них безумен. Это доказывает, что оба они утверждают истину. Следовательно, поскольку отец заявляет, что он не упырь, значит, это и в самом деле так. Стало быть, упырем является его сын.

5. Предположим, что Марта упырь. Тогда Карл — человек и, кроме того, он высказал истинное утверждение. Значит, в данном случае Карл должен быть человеком, находящимся в здравом уме. Это заставляет нас сделать вывод, что Марта — безумный упырь, поскольку, как мы знаем уже, психическое состояние брата и сестры различно. Но тогда Марта, будучи лишившимся рассудка упырем, должна была бы высказать ложное утверждение, а именно что Карл сошел с ума, чего лишенные рассудка упыри сделать не могут. Следовательно, предположение о том, что Марта — упырь, приводит нас к противоречию, а значит, упырем должен быть ее брат Карл.

Помимо этого мы можем определить, кто из них умалишенный. Поскольку Карл высказал ложное утверждение, то будучи упырем, он должен находиться в здравом уме. Но тогда и Марта также высказывает ложное утверждение: значит, будучи человеком, она безумна. Поэтому полный ответ таков: Карл — упырь в здравом уме, а Марта — человек, лишившийся рассудка. Кроме того, Карл лжет, когда утверждает, что его сестра упырь, а Марта заблуждается, заявляя, будто ее брат безумен. (Прелестная парочка, даже для Трансильвании!)