Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

Верил в существование объективного реального мира и один из искуснейших аналитиков XIX в. Шарль Эрмит (1822-1901). В письме математику Стильтьесу Эрмит утверждал:

Я убежден в том, что числа и функции анализа не являются произвольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, как предметы объективной реальности, а мы обнаруживаем или открываем и исследуем их так же, как это делают физики, химики и зоологи.

По другому поводу Эрмит сказал: «В математике мы больше слуги, чем господа».

В своей книге «Философия математики и естественных наук» (1949) Герман Вейль высказывает следующее мнение:

В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа. Сверх всяких ожиданий убеждение (я бы лучше сказал, мечта!) в существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики.

Вейль не исключает, что именно мечта о гармонии Вселенной вдохнула жизнь в научное мышление, ибо «наука погибла бы без поддержки трансцендентальной веры в истинность и реальность и без непрерывного взаимодействия между научными фактами и построениями, с одной стороны, и образным мышлением — с другой» ([13], с. 399).

Более удивительно, что интуиционист Вейль согласился с тезисом, провозглашающим, что о «правильности» математики можно судить по степени ее применимости к физическому миру. Вейль внес огромный вклад в математическую физику, и ему не хотелось жертвовать полезными результатами. В своей книге «Философия математики и естественных наук» Вейль признается:

Насколько убедительнее и ближе к фактам эвристические аргументы и последующие систематические построения в общей теории относительности Эйнштейна или в квантовой механике Гейзенберга — Шрёдингера. Подлинно реалистическая математика наряду с физикой должна восприниматься как часть теоретического описания единого реального мира и по отношению к гипотетическим обобщениям своих оснований занять такую же трезвую и осторожную позицию, какую занимает физика.

Здесь Вейль открыто выступает за то, чтобы рассматривать математику как одну из естественных наук. Математические теоремы, подобно физическим утверждениям, могут быть формально не обоснованными, но экспериментально проверяемыми гипотезами. Иногда они подлежат пересмотру, но надежным критерием их правильности служит их соответствие реальности.

Другое философское течение, которое можно было бы назвать эмпирическим, отстаивает версию, согласно которой математика выводит только приближенные законы для описания нашего знания природы. Среди тех, кто признавал наличие у математики эмпирических оснований и критериев, видное место занимал Джон Стюарт Милль. Он допускал, что математика обладает большей общностью, чем некоторые физические науки, но видел «оправдание» математики лишь в том, что ее утверждения проверены и подтверждены шире и основательнее, чем утверждения физических наук. Следовательно, заключал Милль, глубоко заблуждаются те, кто считает, что математические теоремы качественно отличаются от подтвержденных гипотез и теорий других наук. Причина подобного заблуждения кроется в том, что эти люди считают математические теоремы вполне достоверными, а физические теории — весьма вероятными или всего лишь подкрепляемыми опытом. Милль обосновывал свои взгляды философскими доводами. Тем больше оснований быть прагматиками у тех, кто работал и работает в так называемых «основаниях математики».

В частности, мнение Милля разделяет один из выдающихся специалистов по основаниям математики Анджей Мостовски. На конгрессе, состоявшемся в Польше в 1953 г., он заявил:

Единственная непротиворечивая точка зрения, согласующаяся не только со здравым смыслом, но и с математической традицией, сводится по существу к допущению того, что источник и высший смысл понятия числа (не только натурального, но и вещественного) лежит в опыте и практической применимости. То же относится и к понятиям теории множеств в том объеме, в каком они необходимы для классических областей математики.

Мостовски идет дальше. Он говорит, что математика является естественной наукой. Ее концепции и методы коренятся в опыте, и всякая попытка обосновать математику, не учитывая ее «родословную» в естествознании, обречена на провал.

Выдающийся специалист по математической логике Уиллард Ван Орман Куайн также склонялся к тому, чтобы считать за критерии правильности математических результатов физическую истинность следующих из них выводов. В статье, опубликованной в 1958 г. в серии «Философское значение современной логики» Куайн утверждал:

Теорию множеств и всю математику разумнее представлять себе так, как мы представляем теоретические разделы естественных наук — состоящими из истин, или гипотез, правильность которых подтверждается не столько сиянием безупречной логики, сколько косвенным систематическим вкладом, который они вносят в организацию эмпирических данных в естественных науках.

Даже Бертран Рассел, провозгласивший в 1901 г., что здание математической истины — логической и одновременно физической — останется незыблемым навеки, в 1914 г. был вынужден признать, что «наше знание геометрии физического мира носит синтетический, а не априорный характер». Иначе говоря, геометрия не следует из одной лишь логики. Во втором издании «Оснований математики» (1926) Рассел пошел на еще большие «уступки». По его словам, в правильность логики и математики так же, как и в правильность уравнений Максвелла, мы «верим потому, что из наблюдений убеждаемся в надежности некоторых логических следствий, к которым они приводят».

Все эти ведущие ученые, работающие в основаниях математики, сходятся на том, что математика — одна из разновидностей человеческой деятельности и потому, как и все творения человека, не лишена слабостей и недостатков. Всякое чисто формальное, чисто логическое объяснение — не более чем псевдоматематика, фикция, даже легенда, хотя и не лишенная оснований.

Физики также считают, что математика — это абстрактная (и к тому же приближенная) формулировка опыта. Лауреат Нобелевской премии физик П.У. Бриджмен в книге «Природа физической теории» (1936) утверждал: «Математика в конечном счете представляется не более истинной, чем физика или химия».

Один из наиболее глубоких философов, занимавшихся проблемами оснований математики, Людвиг Виттгенштейн заявил, что математика — не просто создание человеческого разума, она испытывает на себе сильное влияние тех культур, в рамках которых развивается. Математические «истины» зависят от людей ничуть не меньше, чем восприятие цвета или английский язык.

Итак, физики (и некоторые философы) полагают, что математика своими корнями глубоко уходит в физическую реальность, и рассматривают ее как инструмент познания. По мнению Планка, Маха, Больцмана и Гельмгольца, математика дает не более чем логическую структуру законов физики.

Весьма реалистическая оценка успехов математики на фоне физической реальности дана Гильбертом Льюисом в его «Анатомии науки» (1926):

Ученый — человек практический и преследует практические цели. Он не ищет истину в последней инстанции, а довольствуется приближением к ней. Он говорит не об окончательном результате, а об очередном приближении. Не в его вкусе те изящные структуры, которые столь эфемерны, что один-единственный изъян приводит к гибели всего целого. Ученый строит медленно и возводит постройки, быть может, несколько грубоватые, но зато прочные. Если какая-нибудь часть возведенного им сооружения ему не нравится, он с готовностью заменяет ее, не причиняя ущерба остальному зданию даже в том случае, когда неудачная часть расположена вблизи самого основания. В целом он доволен своей работой, ибо, хотя наука никогда не была полностью права, она заведомо никогда целиком не заблуждалась и совершенствовалась от десятилетия к десятилетию.

Полагать, что существует истина в последней инстанции, хотя такая точка зрения распространена необычайно широко, не очень полезно для науки; она годится разве как указатель горизонта, к которому можно стремиться, но не пункт, которого можно достичь.

Позиция, занятая физиками, должна напомнить нам о том, сколь значительная часть современной математики развилась из нашего непрестанного взаимодействия с окружающим физическим миром. Как отмечает Уильям Барретт в книге «Иллюзия техники» (1978), вся история математики свидетельствует о существовании взаимосвязи между математическим разумом и природой. Например, геометрия и математический анализ возникли в силу необходимости иметь дело с объектами и явлениями реального мира. Некоторые современные математики стремились ослабить связь своей науки с природой. Чрезмерное пристрастие к формализму привело их к убеждению, что математика — свободный экскурс в пустоту. Некоторые философы не без одобрения отнеслись к подобной тенденции. Вполне понятно, заявили они, что мы вряд ли могли бы строить самолеты или запускать ракеты без помощи математики. Однако не стоит, вырывая из контекста то или иное математическое утверждение, спрашивать, какому именно факту в реальном мире оно соответствует. Ясно, что на такого рода вопросы невозможно дать сколько-нибудь вразумительный ответ. Мы не должны выносить то или иное математическое утверждение за рамки математической языковой практики и в свою очередь рассматриваем последнюю как неотъемлемую часть нашего общего языка. Математика, как его функционирующая часть, служит для того, чтобы многое сообщать об объектах окружающего нас мира.