Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

В своей «Загадочной Вселенной» (1930) Джеймс Джинс как бы подводит итог этому развитию математики:

Наши далекие предки пытались интерпретировать природу с помощью ими же созданных антропоморфных понятий и потерпели неудачу. Столь же безуспешными оказались и усилия наших не столь отдаленных предшественников, пытавшихся рассматривать природу как своего рода механизм… Вместе с тем наши усилия познать природу, пользуясь понятиями чистой математики, до сих пор были необычайно успешными. Ныне представляется бесспорным, что природа теснее связана с понятиями чистой математики, чем с понятиями биологии и техники.

Далее Джинс, подчеркивая близкое родство между человеком и физическим миром, замечает: «Во всяком случае, не подлежит сомнению, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам» ([13], с. 398). И далее осторожно добавляет: «Вселенную лучше всего изображать (хотя и этот образ далек от совершенства и неадекватен) как чистую мысль, принадлежащую кому-то, кого за неимением более подходящего слова мы назовем математическим мыслителем». Тем, кто все еще сетует на то, что физические науки достигают успеха ценой математической абстракции, следовало бы поразмыслить и попытаться понять, какие откровения они ожидали найти в самом полном научном изложении природы физического мира.

Независимо от того, что могут поведать о существовании и нашем знании физического мира новейшие философские учения, одно не вызывает сомнений. Современная физика отказалась от механических моделей или даже наглядных картин физической реальности; она все большее значение придает математическому описанию и даже всецело полагается на него. Эта тенденция, насколько можно судить, сохранится и впредь. Возврат к прошлому вряд ли возможен. Новейшие области физики столь далеки от повседневного опыта, от чувственного восприятия, что постичь их по силам только математике.

По словам Джинса, «создание моделей или картин для объяснения математических формул и описываемых ими явлений — шаг не к реальности, а от нее; поступать так все равно, что взять идолов, изображающих бесплотные духи».

Платон в свое время использовал образ пещеры, на стене которой человек видит только тени людей и событий; так и мы, живущие в физическом мире, наблюдаем только тени многих физических явлений, и эти «тени» — математические. Может не быть духов, ведьм или чертей, но физические явления, столь же не доступные нашему восприятию, как и любые другие творения человеческого воображения, заведомо существуют.

Тенденция к толкованию математических закономерностей как самой реальности отчетливо прослеживается в работах многих авторов. Дж. У.Н. Салливен в книге «Ограничения науки» (1933) утверждает, что только количественные аспекты материальных явлений имеют отношение к реальному миру. В частности, современное естествознание не требует понимания природы исследуемых сущностей, оно довольствуется знанием их математической структуры. Джинс в своей «Загадочной Вселенной» назвал Вселенную гигантской мыслью. Разум перестал быть незваным гостем в материальном мире, отныне он — его создатель.

Имея в виду не Вселенную в целом, а лишь круг явлений, изучением которых занимается квантовая механика, физик и философ Генри Маргенау утверждает, что волновые функции Шрёдингера есть подлинная реальность.

Но, быть может, лучше всех позицию большинства современных ученых выразил Эйнштейн в книге «Мир, каким я вижу его» (1934):

Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность.

Наделенные немногими и весьма ограниченными по своим возможностям органами чувств и головным мозгом, люди начали проникать в окружающий их загадочный мир. Используя собственный чувственный опыт и данные, полученные из экспериментов, люди выработали некий набор аксиом, применив к ним мощь своего разума. Целью их поисков было выявление порядка, лежащего в основе мироздания. Они стремились построить системы знания, которые противостояли бы мимолетности ощущений и могли бы служить основой для создания неких схем, способных объяснить окружающий мир и помочь овладеть им. И главным продуктом человеческого разума стала математика. Она отнюдь не безупречно ограненный и идеально отшлифованный драгоценный камень, и даже непрерывная «доводка» не в состоянии устранить всех ее изъянов. И все же именно математика воплощает в себе звено, наиболее эффективно связывающее реальный мир с миром чувственных восприятий, и остается поныне драгоценнейшим сокровищем человеческого разума, которое надлежит всячески оберегать. На протяжении долгого времени математика находилась в авангарде человеческой мысли и, несомненно, сохранит передовые позиции, даже если более тщательные исследования выявят в ней какие-нибудь новые изъяны.

Математическая мысль без устали бьется о скалистый берег, препятствующий ее проникновению на новые территории. Но даже гранитные утесы не выдерживают ее могучего натиска, не ослабевающего на протяжении столетий, и рушатся, открывая перед математикой новые просторы.

XII

Непостижимая эффективность математики

Вечная загадка, мира — его познаваемость.{14}

Жизнь — это искусство делать верные выводы из неверных посылок.

Поскольку природу математики и ее взаимосвязь с физическим миром оценивают по-разному, нередко с взаимоисключающих позиций, мы не можем обойти молчанием вопрос о том, почему математика вообще действенна. Нельзя не признать, что полного соответствия между математикой и физической реальностью не существует. Однако немалые успехи математики в описании физически реальных явлений — будь то электромагнитные волны, эффекты, предсказанные теорией относительности, математическая интерпретация того немногого, что доступно наблюдению на атомном уровне, и даже в свое время ньютоновская теория тяготения, не говоря о сотнях других достижений, — требуют какого-то объяснения.

Итак, человек стоит перед двойной загадкой. Почему в тех случаях, когда физическое явление понято нами и мы приняли соответствующие аксиомы, сотни следствий, полученных из них, оказываются столь же применимыми к реальному миру, как и сами аксиомы? Согласуется ли природа с человеческой логикой? Не менее важен и другой вопрос: почему математика эффективна и при описании тех физических явлений, которые непонятны для нас? От этих вопросов невозможно отмахнуться. Слишком многое в современной науке и технике зависит от математики. Очевидно, в ней скрыты какие-то силы и ресурсы.

В Древней Греции, где математика сводилась в основном к геометрии, а приложения ее были весьма ограничены, мыслители пытались ответить на поставленные выше вопросы, однако по современным стандартам эти ответы чрезмерно упрощены и весьма догматичны. Ученым XVI-XVIII вв. ответ на вопрос, почему математика столь эффективна, также казался простым и ясным. Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир устроен на математических принципах, и принимая средневековые представления, гласившие, что мир был создан на математических принципах не кем иным, как Богом, они видели в математике путь к познанию истин о природе. Иначе говоря, превратив Бога в ревностного и непогрешимого математика, стоящего над всем миром, средневековые мыслители как бы отождествили поиск математических законов природы с религиозными исканиями. Изучение природы стало изучением слова божьего, его деяний и его воли. Гармония мира в их глазах была проявлением математической структуры, которой Бог наделил мир при сотворении. Именно он заложил в мир тот строгий математический порядок, познание которого дается нам с таким трудом. Математическое знание почиталось абсолютной истиной, как любая строка Священного писания. Более того, математическое знание становилось в чем-то выше Священного писания, ибо по поводу толкования тех или иных мест в Священном писании возникало немало разногласий, тогда как относительно математических истин не могло быть ни малейших споров.