Истории будущего - Дэвид Кристиан

Если верить, что Бог есть, то в худшем случае придется обойтись без сибаритских удовольствий в земной жизни, зато возможной выгодой будет вечное блаженство за гробом. «Давайте подумаем. Мы уже знаем, каковы шансы на выигрыш и проигрыш… Если выигрыш – бесконечность, а возможность проигрыша конечна, нет места колебаниям, нужно все ставить на кон. Таким образом, поскольку хотим мы того или не хотим, а играть все равно приходится, давайте откажемся от разума во имя жизни, рискнем этим самым разумом во имя бесконечно большого выигрыша, столь же возможного, сколь возможен и проигрыш, то есть небытие» [106]. Логика рассуждений безупречна и поразительна, но насколько правдоподобно воображаемое пространство выборки Паскаля? Смею сказать, что не очень-то правдоподобно!

В 1662 году коллеги Паскаля предложили более реалистичную апологию теории вероятностей в заключительных главах «Логики, или искусства мыслить» [107], нового сочинения по логике, во многом вытеснившего и заменившего собой «Логику» Аристотеля в европейских университетах вплоть до девятнадцатого столетия. Они утверждали, что вероятностная логика может прояснить самые путаные мысли о возможных последствиях в реальном мире: «К примеру, многих людей повергают в ужас удары грома… Если такой непомерный страх вызывает у них одна лишь опасность погибнуть от молнии, то легко показать им, что он необоснован. Ведь из двух миллионов человек подобной смертью погибает от силы один… Следовательно, поскольку страх перед злом должен быть соразмерен не только самому злу, но и вероятности события и поскольку едва ли есть более редкая смерть, чем гибель от молнии, такой смерти надо бояться меньше любой другой, тем более что страх не поможет нам избежать ее» [108].

Я вырос с двоюродной бабушкой, которая закрывалась в туалете всякий раз, когда гремел гром, так что вполне понимаю эти страхи. Но я также ценю ясность, которую может разумное, осмотрительное вероятностное мышление. Предлагаемое в этом отрывке пространство выборки для причин смерти основано на прошлом опыте, а предположение, будто и впредь всего один человек из двух миллионов будет погибать от удара молнии, достоверно и поучительно. Иными словами, прошлые закономерности показывают, что смерть от молнии вряд ли попадает в «красную» зону конуса будущего, который отражает наши страхи. Теория вероятностей есть, как сказал Лаплас два века спустя, лишь «исчисление» вероятностей, но всегда нужно помнить, что мы совершаем «прыжок веры», применяя это исчисление к реальному миру.

На протяжении последующих трех столетий математика, лежащая в основе вероятностного мышления, становилась все более совершенной и изощренной. В трактате «Искусство предположений», впервые опубликованном в 1713 году, через восемь лет после смерти автора, Якоб Бернулли показал, что можно развернуть логику вероятностного мышления в обратном направлении. Вместо того чтобы спрашивать, каковы шансы данного исхода, можно оценить несколько исходов и прикинуть, что эти результаты способны сообщить о пространстве выборки, из которого они взяты. Такова «обратная вероятность», отличный способ получить ценные сведения из скудной информации, в том числе и сведения о возможном будущем. Обратная вероятность позволяет делать выводы о совокупностях на основе выборок. Политические социологи постоянно используют этот метод, пытаясь угадать результаты выборов посредством анализа нескольких интервью.

Бернулли вообразил образцовый мир с урной, содержащей сотни черных и белых плашек. Если выбрать среди них десять случайным образом и если шесть из десяти окажутся белыми, что мы узнаем о соотношении белых и черных плашек во всей урне? Иными словами, какие пропорции я получу, продолжая вынимать плашки из урны? Верно ли предполагать, что около 60 процентов плашек – белые? Бернулли математически доказал, что чем больше выборка, тем ближе она к основному распределению. Это «закон больших чисел», интуитивно понятный всякому, ведь в конечном счете выборка будет включать каждую плашку в урне, и тогда она станет соответствовать основному распределению. Менее очевиден другой вывод – что возможно получить довольно точную оценку соотношения белых и черных плашек задолго до того, как подсчитаны все плашки в урне. Вообще близость выборки к основному распределению зависит не от размеров совокупности (тут потребуются обширные выборки для очень больших совокупностей), а от размера самой выборки. На этот замечательный результат опирается большинство статистических форм, в которых анализируются по ограниченным выборкам крупные совокупности280.

Обратная вероятность обнажает математическую логику древней идеи случайного выбора. Случайные выборки снабжают нас ограниченные знания о мире, но социологи знают, что выборка по нескольким сотням или нескольким тысячам образцов способна выдать достаточно точные прогнозы. Конечно, выборки должны производиться как можно более случайным образом, если нужно, чтобы они соответствовали математическим моделям. (Не выбирайте участников политических интервью из состава группы, в которой все носят значки одной и той же политической партии!) Сегодня идея обратной вероятности наиболее широко используется в байесовской статистике. Как мы видели в главе 3, все начинается с исходной, зачастую крайне субъективной оценки формы возможного пространства выборки, а далее эта оценка обновляется по мере поступления новой информации281.

В восемнадцатом столетии другие математики, скажем, Лаплас, показали, что можно оценивать математически степень близости выборки к реальному распределению. Можно строить математические модели изменения случайных выборок, которые позволят установить, насколько близка та или иная выборка к основному распределению. Например, многие образцы реального мира как будто изменяются в соответствии с закономерностью, часто именуемой нормальным распределением (или, вследствие своеобразной формы, колоколообразной кривой). Нормальное распределение наблюдается, если взять варианты выпадения аверса и реверса во многих играх с монетами, количество новобранцев в армии или количество экстремально жарких или холодных дней в году. При нормальном распределении большинство результатов группируется вокруг среднего значения, или медианы. Количество результатов уменьшается по мере удаления от среднего, причем способами, которые можно смоделировать математически. При нормальном распределении среднее отклонение среднего значения выборки от среднего значения общей совокупности измеряется стандартным отклонением. В образцовом мире 68,2 % всех средних значений выборки нормального распределения для всех возможных средних будет находиться в пределах одного стандартного отклонения общей совокупности, а 95,4 % значений – в пределах двух стандартных отклонений. С учетом этого можно утверждать наличие 68,7-процентной вероятности того, что среднее значение для конкретной выборки находится в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения для всей совокупности.

Насколько хорошо реальный мир соответствует этим аккуратным образцовым распределениям? Что ж, достаточно хорошо для того, чтобы такие модели оказались крайне полезными. На приведенной ниже диаграмме отражены измерения роста 36 658 восемнадцатилетних новобранцев британской армии в 1880–1884 годах282. Распределение искажено, поскольку новобранцы ростом ниже 65 дюймов обычно не принимались в расчет, хотя некоторые все-таки проскользнули через этот фильтр. Без указанного искажения распределение еще сильнее походило бы на стандартную нормальную кривую. Средний рост для этой группы составляет