Финансы - Роберт К. Мертон

Фактически вас не беспокоит то, сколько из общей суммы в 210 долл. приходится на простые проценты, а сколько — на сложные. Все, что вы действительно хотите знать, так это то, сколько денег будет на вашем счете в будущем. Самый простой способ расчета будущей стоимости к концу второго года заключается в умножении начальной суммы на коэффициент 1,1 (здесь мы опускаем нуль из 1,10 для того, чтобы упростить наше уравнение) и затем еще раз умножаем на 1,1:

FV =10070 долл. х 1,1х1,1 =1000 долл. х 1,1 =1210 долл.

Через три года у вас будет

FV = 1000 долл. х 1,1 х 1,1х1,1=1000 долл. х 1,13 =1331 долл.

Следуя этой цепочке рассуждений, мы можем найти будущую стоимость' через;

пять лет с помощью повторного умножения:

1000 долл. х 1,1 х 1,1х1,1 х 1,1 х 1,1 =1000 долл. х1,15= 1610,51 долл.

Итак, теперь мы можем ответить па поставленный вопрос. Будущая стоимость 1000 долл. через пять лет при ставке ссудного процента 10% годовых составляет 1610,51 долл. Общая сумма процентных начислений за пять лет составляет 610,51 долл., из нее 500 долл. являются простыми процентами и 110,51 долл. —- сложными.

Контрольный вопрос 4.1

Если процентная ставка в предыдущем примере составляет всего5-годовых, то какова будущая стоимость? Сколько составят простые и сложные проценты?

Для того чтобы лучше понять начисление сложных процентов, посмотрите на табл. 4.1, которая показывает рост денег на вашем счете на протяжении пяти лет. Таблица ясно показывает, что общая сумма процентов, начисляемых каждый год, равна сумме в начале года, умноженной на процентную ставку в размере 10%. Если, используя данные из таблицы, построить диаграмму на рис. 4.1, то мы увидим, что рост вклада происходит отчасти благодаря сложным процентам, а отчасти — простым. Хотя совокупная величина простых процентов вырастает каждый год на одну и ту же сумму (100 долл.), совокупная величина сложных процентов с каждым годом увеличивается на все большую сумму- Происходит это потому, что сложные проценты рассчитываются как 10% от всех ранее начисленных процентов.

Таблица 4.1. Будущая стоимость и сложные проценты

Годы

Вклад в начале года (долл.)

Начисленные проценты (долл.)

Вклад в конце года (долл.)

1

1000,00

100,00

1100,00

2

1100,00

110,00

1210,00

3

1210,00

121,00

1331,00

4

1331,00

133,10

1464,10

5

1464,10

146,41

1610,51

Сумма процентных начислений

610,51

Примечание. Табл. 4.1 и рис. 4.1. показывают будущую стоимость 1000 долл. при ставке процента 10% годовых, Простые проценты в диаграмме – это накопленная сумма процентов, исходя из 100 долл., за год. Сложные проценты в диаграмме – это общая сумма всех сложных процентов начисленных до этого времени.

В общем говоря, если i — процентная ставка и и — количество лет, то будущую стоимость 1000 долл. можно узнать с помощью формулы:

FV=1000(1+i)n (4.1)

Выражение в скобках в формуле (4.1), на которое умножается величина PV (1000 долл.), является будущей стоимостью 1 долл. и называется коэффициентом будущей стоимости (future value factor). В нашем примере он равняется 1610,51. Формула для вычисления коэффициента будущей стоимости достаточно простая:

Коэффициент будущей стоимости = (1 + i)n

Будущую стоимость любой вложенной на пять лет суммы денег при ставке процента !0% годовых можно найти, умножив ее на коэффициент будущей стоимости (1610,51). Таким образом, будущая стоимость 500 долл., помещенных сроком на пять лет в банк при условии выплаты процентов из размера ссудной ставки 10% годовых, будет следующей: 500 долл. х 1610,51 = S04.254 долл. Коэффициент будущей стоимости тем больше, чем выше процентная ставка и чем дольше срок, на который кладутся деньги. Табл. 4.2 и рис. 4.2 показывают эту связь для разных процентных ставок и для разных сроков вклада.

Количество периодов

Рис. 4.1. Диаграмма будущей стоимости и сложных процентов

4.1.1. Расчет будущей стоимости

На практике существует множество способов вычисления будущей стоимости, которые мы можем проиллюстрировать примером расчета будущей стоимости 1000 долл. при процентной ставке 10% годовых и для периода в пять лет.

1. Мы можем просто умножить 1000 на 1,1 пять раз:

1000 долл. х 1,1х1,1х1,1х1,1х1,1 = 1610,51 долл.

Этот метод хорош в случае, если срок вклада не очень велик. Но если количество периодов (п) увеличивается, этот метод становится утомительным. Если у вас есть калькулятор с клавишей у, вы можете просто посчитать:

1000 долл.х1,15 =1610,51 долл.

Таблица 4.2. Будущая стоимость 1 долл. при разных сроках вклада и разных процентных ставках.

Процентная ставка

Количество периодов, n

2%

4%

6%

8%

10%

12%

1

1,0200

1,0400

1,0600

1,0800

1,1000

1,1200

2

1,0404

1,0816

1,1236

1,1664

1,2100

1,2544

3

1,0612

1,1249

1,1910

1,2597

1,3310

1,4049

4

1,0824

1,1699

1,2625

1,3605

1,4641

1,5735

5

1,1041

1,3167

1,3382

1,4693

1,6105

1,7623

10

1,2190

1,4802

1,7908

2,1589

2,5937

3,1058

15

1,3459

1,В009

2,3366

3,1722

4.1772

4,4736

20

1,4859

2,1911

3,2071

4,6610

6,7275

9,6463

Примечание. Табл. 4.2 и рис, 4,3 показывают будущую стоимость 1 долл. для разных периодов времени при разных процентных ставках. Чем выше процентная ставка, тем быстрее растет будущая стоимость. Общая формула для расчета будущей стоимости в расчете на 1 долл.:

FV= (1 + i)n

где i—процентная ставка, выраженная десятичной дробью, a n— количество периодов.

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Годы

Рис. 4.2. Будущая стоимость I доллара для разных периодов и процентных ставок

Существуют специализированные финансовые калькуляторы, предназначенные дм того, чтобы облегчить вычисления. Рис. 4.3 показывает клавиатуру типичного финансового калькулятора. Нажатием соответствующих клавиш вы вводите в произвольном порядке количество периодов (n), процентную ставку (i) и величину вклада (PV), а затем рассчитываете будущую стоимость (FV). И, как по волшебству, ответ появляется на дисплее калькулятора. Программы электронных таблиц для персональных компьютеров, такие как Lotus и Excel, также имеют встроенные возможности расчета будущей стоимости.

Рис. 4.3. Финансовый калькулятор

2. Мы также можем использовать для расчетов таблицы коэффициенты будущей стоимости, такие как в табл. 4.2. В нашем примере мы могли бы найти в таблице коэффициент, который соответствует значению и 5 и процентной ставке i 10%. Таблица показывает, что соответствующим коэффициентом является 1,6105. Затем мы умножаем наши 1000 долл. на этот коэффициент.

3. И наконец, существует удобный способ, который поможет вам подсчитать будущую стоимость ваших денег, если у вас под рукой нет калькулятора или соответствующей таблицы. Это правило называется правилом 72 (Rule of 72). Оно гласит, что количество лет, необходимое для того, чтобы сумма денег удвоилась ("время удвоения"), примерно равно числу 72, поделенному на процентную ставку, выраженную в процентах в год:

Время удвоeния =

72

процентная ставка

Таким образом, при годовой ставке процента 10% должно пройти примерно 7,2 года прежде, чем ваши деньги удвоятся. Если вы начнете с 1000 долл., то через 7,2 года у вас будет 2000 долл., через 14,4 года 4000 долл., 8000 долл. через 21,6 и т.д.

4.1.2. Сбережения на старость

Вам 20 лет и вы подумываете о том, чтобы положить на счет 100 долл. сроком на 45 лет при ставке процента 8% годовых. Сколько денег будет на вашем счете когда вам будет 65 лет? Сколько из этой суммы составят простые проценты, а сколько — сложные? И если бы вам удалось найти банк, где годовая ставка процента составляет 9%, насколько больше денег у вас было бы в возрасте 65 лет?

Используя любой из рассмотренных ранее методов мы получаем:

FV = 100 долл.х1,0845 =3192 долл.

Поскольку начальная сумма составляет 100 долл., сумма начисленных процентов будет равна 3092 долл. Простые проценты получаются путем перемножения следующих величин — 45 х 0,08 х 100 долл., или 360 долл., тогда как сумма сложных процентов равна 2732 долл.