История логики - Александр Маковельский

У Аристотеля силлогизм и доказательство настолько тесно связаны, что часто силлогизм он называет доказательством и доказательство – силлогизмом.

Аристотель указывает, что по трем фигурам категорического силлогизма протекают не только прямые доказательства, но и косвенные. В самом деле, последние основаны на логическом законе, что из двух противоречащих суждений одно необходимо истинно и ход доказательства заключается в том, что, утверждая противоположное основному положению, мы приходим к абсурду (невозможному). Таково, например, доказательство положения, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Приняв противоположное данному положению, т. е. что она соизмерима, мы получаем вывод, что нечетное число равно четному (пример взят Аристотелем из современной ему математики; пример сам по себе неудачен, поскольку это доказательство является ошибочным). Доказательство путем приведения к невозможному основано на том, что предположение, противное искомому заключению, приводит к абсурду. Но самое выведение следствий из принятого положения, противного искомому, строится в виде прямого Доказательства и, следовательно, должно протекать по одной из тех же трех фигур силлогизма.

Таким образом, и косвенные доказательства получаются по тем же самым фигурам силлогизма. Наконец, и в гипотетических умозаключениях дело обстоит не иначе. В них мы исходим из некоторого предположения (или условного согласия собеседника), но самый ход умозаключения и в этом случае будет таким же, как и в косвенном доказательстве. Допустим, заранее достигнуто с собеседником соглашение, что «если есть А, то есть и В». Строим доказательство:

Если~.А~есть, то и В есть А есть

Следовательно, В есть.

В первой посылке существование А принято условно, во второй же посылке оно принимается категорически, а заключением является главное искомое суждение.

По учению Аристотеля, все виды доказательств и все виды умозаключений сводятся к категорическому силлогизму и его трем фигурам, а последние сводятся к первой фигуре и, следовательно, первая фигура категорического силлогизма является той основой, на которой покоятся все наше мышление, вся логика, все науки.

Доказательства от предположения. Прямому доказательству путем применения категорического силлогизма с истинными посылками Аристотель противопоставляет доказательство, которое выводит доказываемое суждение путем допущения известного предположения (с помощью гипотезы). В этом непрямом способе доказательства усматривают зачатки позднейшего учения о гипотетических умозаключениях. Но взгляды Аристотеля по этому вопросу существенно расходятся с учениями последующей логики. У Аристотеля различаются и противопоставляются не аподиктический и гипотетический силлогизмы, а дейктический и гипотетический приемы доказательства. И при рассмотрении последнего в 23-й главе первой книги «Первой Аналитики» Аристотель доказывает, что и те умозаключения, которыми пользуется гипотетический способ доказательства, также укладываются в те же самые три фигуры, которые свойственны дейктическому доказательству, и, следовательно, в конечном счете могут быть редуцированы к первой фигуре категорического силлогизма.

Апагогические доказательства. Одним из видов доказательства «от предположения» является апагогический способ доказательства. Исследование апагогических умозаключений дано Аристотелем во второй книге «Первой Аналитики».

Апагогические умозаключения отличаются от остальных силлогизмов «от предположения» как логической структурой, так и познавательной ценностью. Аристотель знает и применяет различные виды апагогической аргументации. Одним из видов апагогического доказательства является приведение к невозможному. Это апагогическое доказательство состоит в том, что из контрадикторной противоположности того суждения, которое должно быть доказано, выводится заключение, оказывающееся противоречащим тому, что является признанной истиной, и потому оно должно быть отброшено как невозможное. Если же это следствие невозможно, то должна быть ложной посылка, из которой оно вытекает. А эта посылка является контрадикторной противоположностью по отношению к доказываемому суждению, и, следовательно, последнее должно быть истинным.

Апагогическое доказательство Аристотель относит к умозаключениям «от предположения», потому что здесь выведение следствия основывается на гипотезе, что тезис должен быть истинным, если антитезис (контрадикторная противоположность тезиса) может быть доказан как невозможный.

Итак, апагогический прием состоит из двух частей: в первой силлогистически выводится заключение, во второй устанавливается абсурдность этого заключения. Заключительный момент апагогического доказательства – переход к самому доказываемому положению – совершается по закону исключенного третьего.

Весь апагогический прием доказательства состоит из трех стадий:

I. Силлогизм:

С не есть А В есть А

В не есть С

II. Установление абсурда:

В есть С.

Если «В есть С» истинно, то его противоположность «S не есть С» должна быть ложной.

III. Гипотетическое выведение следствия:

Если из суждения «С не есть А» вытекает суждение «S не есть С», а это суждение невозможно, то истинно, что «С есть A» (гипотеза).

Поскольку из ложности одного суждения следует с достоверностью истинность другого лишь в том случае, если эти суждения находятся в отношении контрадикторной противоположности, постольку, если возьмем противную (контрарную) противоположность доказываемого суждения, то от нее, разумеется, силлогистически тоже можно прийти к абсурду, однако от этого абсурда нельзя перебросить мост к тому, что должно быть доказано.

Ошибочные гипотетические умозаключения.

В обычном нормальном силлогизме «от предположения» истинность доказываемого суждения выводится на основе гипотезы, в которой значимость доказываемого суждения ставится в зависимость от значимости другого суждения, т. е. истинность доказываемого суждения выводится из силлогистически доказанной истинности этого второго суждения. Пусть объектом доказательства будет суждение В. Доказательство основывается на гипотезе: если суждение А имеет силу, то имеет силу и суждение В.

Суждение А доказывается посредством силлогизма. Если же А истинно, то, согласно гипотезе, и В должно быть истинным. Таким образом, и гипотетический прием, подобно апагогическому, слагается из двух частей: силлогистической и несиллогистической. И точно так же, как в аналогических умозаключениях, решающий момент хода доказательства лежит не в силлогистической части, а в следствии, основанном на гипотезе.

Согласно аристотелевскому пониманию, в отличие от дейктических умозаключений, в которых силлогизм имеет объективное значение, в собственно гипотетических умозаключениях мы исходим из допущения, не имеющего объективной значимости, но являющегося лишь субъективным соглашением участников спора.

Гипотетические умозаключения бывают различного рода. Аристотель говорит, что к гипотетическим умозаключениям, кроме апагогических силлогизмов, относятся различные классы умозаключений, и он высказывает свое намерение исследовать их, что, однако, им выполнено не было.

В «Первой Аналитике» (I, 23) Аристотель говорит, что с применением гипотетического доказательства суждение выводится «посредством согласия или какой-либо другой гипотезы».

Таким образом, здесь указывается на различные классы гипотетических умозаключений. В другом месте («Первая Аналитика», I, 29) Аристотель прямо говорит, что «умозаключения через предположенное условие бывают разных видов и надо четко их различать». Общим для всех гипотетических умозаключений является то, что доказательство основано на «заранее принятом», которое не есть нечто прямо утверждаемое, но лишь утверждаемое условно.

В 44-й главе первой книги «Первой Аналитики» Аристотель говорит, что собственно гипотетические умозаключения нельзя редуцировать ни к одной из трех фигур силлогизма, так как доказываемое суждение в них получается не силлогистическим путем, но через посредство гипотезы, принятой по соглашению (исходное положение не доказано, но лишь допущено по обоюдному согласию участников беседы или спора). Далее Аристотель говорит об отличии этих гипотетических умозаключений от апагогических. В приеме сведения к невозможному одна часть сводима к трем фигурам силлогизма, другая часть несводима. Однако собственно гипотетические умозаключения отличаются от доказательств через сведение к невозможному тем, что приходится заранее соглашаться насчет Предпосылаемого условия, в доказательствах же от невозможного не требуется такого предварительного соглашения, ибо получаемая нелепость совершенно очевидна.

Аристотелевское учение о гипотетических умозаключениях осталось неразработанным, и у самого Аристотеля встречаются несогласованности и противоречия по вопросу о видах этих умозаключений.