Алиса в Стране Смекалки - Рэймонд Смаллиан

— Я не имела в виду реального Шалтая-Болтая, — сказала Алиса. — Я говорила о Шалтае-Болтае, который вам приснился. Он-то и был прав!

— Минуточку! — возразил Черный Король. — Уж не хотите ли вы сказать, что существуют два Шалтая-Болтая, реальный и тот, который мне приснился? Алиса не сразу нашлась, что ответить.

— Как бы то ни было, — продолжал Черный Король, — мне удалось придумать несравненно более убедительное доказательство того, что я бодрствую. Возможно, мои рассуждения безупречны. Они просто не могут не быть правильными!

— Мне бы очень хотелось их услышать, — призналась Алиса.

— Должен тебе сказать, — начал Черный Король, — что я придерживаюсь теории, согласно которой все живые существа на свете подразделяются на два типа: тип A и тип B. Существа, принадлежащие к типу A, судят обо всем абсолютно здраво наяву и абсолютно превратно во сне. Все, в чем они убеждены наяву, истинно. Все, в чем они убеждены во сне, ложно. Существа, принадлежащие к типу B, наоборот, судят обо всем абсолютно превратно наяву и абсолютно здраво во сне.

— Что за необыкновенная теория! — сказала Алиса. — И какие у вас доказательства, что она правильна?

— Чуть позже я докажу тебе, что моя теория вне всяких сомнений верна, а пока мне хотелось бы обратить твое внимание на некоторые следствия из моей теории. Прежде всего из нее непосредственно следуют два утверждения.

Утверждение 1. Если в какой-то момент времени некто считает себя бодрствующим, то он должен принадлежать к типу A.

Утверждение 2. Если в какой-то момент времени некто считает себя принадлежащим к типу A, то он должен в это время бодрствовать.

Затем к удовлетворению Алисы Черный Король доказал оба утверждения (по крайней мере Алисе не удалось обнаружить ошибки в его доказательствах).

88. Всего лишь один вопрос

Действительно ли следуют из теории Черного Короля утверждения 1 и 2?

— Теперь, когда ты знаешь доказательства утверждений 1 и 2, я могу наконец доказать тебе, что сейчас я бодрствую.

Доказательства Черного Короля

— Я докажу три пункта, — сказал Король. — Во-первых, что я принадлежу к типу A. Во-вторых, что я бодрствую. В-третьих, что моя теория правильна. Прежде всего ты должна принять за исходную посылку, что я убежден в истинности всех трех пунктов. В этом ты мне не откажешь?

— Разумеется, не откажу, — согласилась Алиса. — Я ни на минуту не сомневаюсь, что вы убеждены в истинности всех трех пунктов. Неясно лишь, истинны ли они на самом деле!

— Из того, что я убежден в их истинности, — ответил Черный Король, — следует, что они должны быть истинны.

— Как? — воскликнула Алиса в изумлении. — Не хотите ли вы сказать, Ваше Величество, будто из того, что кто-то убежден в истинности чего-то, следует, что это что-то должно быть истинно?

— Разумеется, нет! — вскричал Черный Король. — Я не хуже тебя знаю, что от того, что кто-то убежден в истинности чего-то, отнюдь не обязательно следует, что это что-то истинно. Но три пункта, которые я назвал, обладают поистине замечательным свойством: если кто-нибудь убежден в истинности любого из них, то они становятся истинными!

— Как такое может быть? — удивилась Алиса.

— А вот это я сейчас тебе докажу! — пообещал Черный Король. — Следи за моими рассуждениями внимательно. Так как я убежден, что бодрствую, то должен принадлежать к типу A.

— Это следует из утверждения 1, - согласилась Алиса.

— Правильно! — подтвердил Король. — Из утверждения 2 следует, что так как я убежден, что принадлежу к типу A, то я должен сейчас бодрствовать.

— Да, — кивнула Алиса.

— Прекрасно! — торжествующе провозгласил Король. — Так как я бодрствую и принадлежу к типу A, то убеждения, которых я придерживаюсь сейчас, здравы. А так как мои убеждения здравы и я убежден в правильности предложенной мной теории, то эта теория правильна! Что может быть убедительнее такого доказательства?

Глава 12. Какая Алиса?

— Постойте, постойте! — сказал Майкл. — Уж не думаете ли вы, что я поверю в теорию Черного Короля?

— А почему бы и нет? — поддразнил я его, едва удерживаясь от улыбки.

— Это самая нелепая теория, какую я когда-либо слышал!

— Почему? — невинно осведомился я. — Разве она логически не возможна?

— Разумеется, нет! — отрезал Майкл. — Она же сумасшедшая от начала и до конца!

— Но разве Черный Король не доказал, что его теория правильна? — спросил я.

Последовала продолжительная пауза: мой оппонент погрузился в размышления. Первой молчание нарушила Алиса.

— Не совсем, — заметила она. — Доказательство Черного Короля логически небезупречно.

— Можешь ли ты указать хоть одну логическую ошибку? — спросил я с самым беззаботным видом.

— Все его «доказательство» основано на порочном круге, — рассердилась Алиса. — Тот, кто считает себя принадлежащим к типу A, должен бодрствовать, а тот, кто считает себя бодрствующим, должен принадлежать к типу A! Да такие рассуждения опираются в первую очередь на теорию Короля, а ее правильность «доказывается» с их помощью!

— Очень хорошо! — кивнул я. — Диагноз поставлен верно! В рассуждениях Черного Короля действительно содержится порочный круг!

— Значит, я был прав! — обрадовался Майкл. — Теория Черного Короля ошибочна!

— Вовсе нет! — резко возразил я. — Алиса не доказала, что его теория ошибочна. Ей удалось доказать лишь, что Черный Король не смог доказать правильность своей теории. Но ошибочность предложенного Черным Королем доказательства еще не означает ошибочности самой теории.

— Но это же глупейшая из теорий, которые я когда-нибудь слыхал! — настаивал Майкл.

— Глупая — одно, логически невозможная — совсем другое, — ответил я. — Согласен с тобой, что теория в высшей степени неправдоподобная, но это еще не означает, что она логически невозможна.

— В рассуждениях Короля также есть одна тонкость, которую мне хотелось бы подчеркнуть, — добавил я. — Если бы сам Король принадлежал к типу A или B, то от того, что он убежден в истинности трех доказываемых им тезисов, эти тезисы действительно стали бы истинными! Рассуждения Короля стали бы правильными, если бы мы добавили еще одну исходную посылку, предположив, что Король принадлежит к типу A или к типу B. Если Король принадлежит к одному из этих типов, то отсюда следует, что и любое другое существо также принадлежит либо к типу A, либо к типу B, то есть что теория Короля должна быть правильной.

— Все равно я считаю, что глупее, чем теория Короля, ничего не придумаешь, — сказал Майкл, как бы подводя итог нашему разговору.

Но на этом история не закончилась! Ночью Алисе приснился странный сон. Когда она ложилась спать, в голове у нее еще роилось множество необычных логических задач, которые она услышала за день. В частности, ей не давали покоя замена истины ложью и лжи истиной в рассуждениях зазеркальных логиков и теория Черного Короля.

«Возможно ли в действительности, чтобы теория Черного Короля была правильной? — размышляла Алиса. — Если да, то хотела бы я знать, к какому типу я принадлежу — к типу A или к типу B?».

И тут Алисе приснился сон. Ей снилось, что она не она, а другая Алиса, та, из Зазеркалья. Ей снилось, что она повстречала Черного Короля и указала тому на пробелы в его доказательстве. Он исправил ошибку и предложил Алисе новое доказательство, одной из посылок которого было предположение о принадлежности Короля к типу A или B. (К сожалению, проснувшись на следующее утро, Алиса не смогла припомнить новое доказательство Короля, поэтому я затрудняюсь сказать вам, в чем оно состояло!) Тем не менее во сне Алиса была полностью убеждена, что Король действительно принадлежал либо к типу A, либо к типу B и что, таким образом, всякое живое существо, как следовало из первого доказательства Короля, принадлежало либо к типу A, либо к типу B.

Между Алисой и Черным Королем состоялся следующий разговор:

— Существует на свете еще одна Алиса, — сказал Король. — Сейчас она спит, и ей снится, что она — это ты.

— Необыкновенно интересно! — воскликнула Алиса. — А разве не может быть так, что это я сейчас сплю и мне снится, что я — это она?

— Это одно и то же, — ответил Король. — Какая разница?

Замечание Короля поразило Алису! Ей было совсем не понятно, почему это одно и то же.

— Как, по-твоему, какая ты Алиса, та или эта? — спросил Король.

— Сейчас я вряд ли смогу ответить на этот вопрос, — призналась Алиса.

— К какому типу ты принадлежишь — к A или B? — спросил Король.

— Боюсь, что и на этот вопрос я не смогу ответить, — призналась Алиса. — Сейчас я даже не уверена, сплю я или бодрствую.

— Позволь мне подвергнуть тебя небольшому тесту, — попросил Король. — Какого цвета у тебя глаза?

— Карие… Ах нет! Думаю, что они синие… Нет, подождите! Это зависит от того, какая я Алиса. Какая же я Алиса и какого цвета у меня глаза?