Для юных математиков. Веселые задачи - Яков Перельман

Порядок отвешивания таков. Сначала кладут на одну чашку молоток, на другую гирю и столько сахарного песку, чтобы чашки уравновесились; ясно, что насыпанный на эту чашку песок весит 900–500 = 400 граммов. Ту же операцию выполняют еще 3 раза; остаток песку весит 2000-(4x400) = 400 граммов.

Теперь остается только каждый из пяти полученных 400-граммовых пакетов разделить пополам, на два равных по весу пакета. Делается это без гирь очень просто: рассыпают содержимое 400-граммового пакета в два картуза, поставленные на разных чашках, пока весы не уравновесятся.

Решение задачи № 30 Если бы заказанный венец был сделан целиком из чистого золота, он весил бы вне воды 10 кг, а под водой потерял бы 20-ю долю этого веса, т. е. полкилограмма. В действительности же венец, мы знаем, теряет в воде не 1/2 кг, а 10 – 9 1/4 = 3/4 кг. Это потому, что он содержит в себе серебро, металл, теряющий в воде не 20-ю, а 10-ю долю своего веса. Серебра должно быть в венце столько, чтобы венец терял в воде не 1/2 кг, а 3/4 кг – на 1/4 кг более. Если в нашем чисто золотом венце заменим мысленно 1 кг золота серебром, то венец будет терять в воде больше, нежели прежде, на 1/10 – 1/20 = 1/20 кг. Следовательно, чтобы получилось требуемое увеличение потери веса на 1/4 кг, необходимо заменить серебром столько килограммов золота, сколько раз 1/20 кг содержится в 1/4 кг; но 1/4 : 1/20 = 5. Итак, в венце было 5 кг серебра и 5 кг золота, – вместо выданных 2 кг серебра и 8 кг золота. Три килограмма золота было утаено и заменено серебром.

Глава IV Задачи с квадратами

ЗАДАЧА № 31

Пруд

Имеется квадратный пруд (рис. 26). По углам его, близ самой воды, растет 4 старых развесистых дуба. Пруд понадобилось расширить, сделать вдвое больше по площади, сохраняя квадратную форму. Но вековых дубов трогать не желают. Можно ли расширить пруд до требуемых размеров так, чтобы все 4 дуба, оставаясь на своих местах, не были затоплены водой, а стояли бы у берегов нового пруда?

Рис. 26. Задача о пруде.

ЗАДАЧА № 32 Паркетчик

Паркетчик, вырезая квадраты из дерева, проверял их так: он сравнивал длины их сторон, и если все четыре стороны были равны, то считал квадрат вырезанным правильно.

Надежна ли такая проверка?

ЗАДАЧА № 33 Другой паркетчик

Другой паркетчик проверял свою работу иначе. Он мерил не стороны, а диагонали (т. е. те косые линии, которые, перекрещиваясь, соединяют углы). Если обе диагонали оказывались равными, паркетчик считал квадрат вырезанным правильно.

Вы тоже так думаете?

ЗАДАЧА № 34 Третий паркетчик

Третий паркетчик при проверке квадратов убеждался в том, что все 4 части, на которые диагонали разделяют друг друга (черт. 27), равны между собой. По его мнению, это доказывало, что вырезанный четырехугольник есть квадрат.

А по-вашему?

Рис. 27.

ЗАДАЧА № 35 Белошвейка

Белошвейке нужно отрезать кусок полотна в форме квадрата. Отрезав, она проверяет свою работу тем, что перегибает четырехугольный кусок по диагонали и смотрит, совпадают ли края. Если совпадают, значит – решает она, – отрезанный кусок имеет в точности квадратную форму.

Так ли?

ЗАДАЧА № 36 Еще белошвейка

Другая белошвейка не довольствовалась проверкой своей подруги. Она перегибала отрезанный четырехугольник сначала по одной диагонали, затем, расправив полотно, перегибала по другой. И только если края фигуры совпадали в обоих случаях, она считала квадрат вырезанным правильно.

Что скажете вы о такой проверке?

ЗАДАЧА № 37 Затруднение столяра

У молодого столяра имеется пятиугольная доска, изображенная на рисунке 28-м. Вы видите, что она как бы составлена из квадрата и приложенного к нему треугольника, который вчетверо меньше этого квадрата. Столяру нужно – ничего не убавляя от доски и ничего к ней не прибавляя, – превратить ее в квадратную. Для этого необходимо, конечно, распилить ее раньше на части. Наш молодой столяр так и намерен сделать, но он желает разделить доску не более чем по двум прямым линиям.

Рис. 28. Затруднение столяра.

Возможно ли двумя прямыми линиями разрезать нашу фигуру на такие части, из которых составлялся бы квадрат? И если возможно, то как это сделать? ЗАДАЧА № 38 Все человечество внутри квадрата

В настоящее время (1924 г.) на всем земном шаре насчитывается 1800 миллионов человек:

1 800 000 000.

Представьте, что все люди, живущие на свете, собрались сплошной толпой на одном ровном месте. Вы желаете поместить их на квадратном участке, отводя по квадратному метру на каждые двадцать человек (плотно прижавшись друг к другу, 20 человек могут на таком квадрате поместиться).

Попробуйте, не вычисляя, оценить на глаз, каких приблизительно размеров квадрат понадобился бы для этого. Достаточно ли будет, например, отвести квадрат со стороною 100 километров?

ЗАДАЧА № 39 Сомнительные квадраты

Учитель черчения задал школьнику работу: начертить два равных квадрата и заштриховать их. Школьник выполнил работу так, как показано на рис. 29-м.

Рис. 29.

Он был уверен, что это квадраты и притом равные.

Почему он так думал?

ЗАДАЧА № 40 Темные пятна

Другой школьник должен был начертить несколько рядов черных квадратов, разделенных белыми полосками.

Рис. 30.

Вот как он выполнил эту работу.

Вы видите, однако, что близ углов квадратов, в том месте, где пересекаются бе лые полоски, имеются темноватые пятна. Школьник уверял, что он их не делал.

Откуда же они взялись?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С КВАДРАТАМИ (№№ 31–40)

Решение задачи № 31

Расширить площадь пруда вдвое, сохраняя его квадратную форму и не трогая дубов, – вполне возможно. На чертеже 31-м показано, как это сделать: надо копать так, чтобы дубы оказались против середины сторон нового квадрата. Легко убедиться, что новая площадь вдвое больше прежней: достаточно лишь провести диагонали в прежнем пруде и сосчитать образующиеся при этом треугольники.

Рис. 31.

Решение задачи № 32

Такая поверка недостаточна. Четырехугольник мог выдержать это испытание, и не будучи квадратом. Вы видите на чертеже 32-м примеры таких четырехугольников, у которых все стороны равны, но углы не прямые. В геометрии фигуры с 4 равными сторонами называются ромбами. Каждый квадрат есть ромб, но не каждый ромб есть квадрат.

Рис. 32.

Решение задачи № 33

Эта поверка так же ненадежна, как и первая. В квадрате, конечно, диагонали равны, – но не всякий четырехугольник с равными диагоналями есть квадрат, – как видно из фигур, представленных на черт. 33-м.

Рис. 33.

Паркетчикам следовало бы применять к каждому вырезанному четырехугольнику обе проверки сразу, – тогда они могли быть уверены, что работа сделана правильно. Всякий ромб, у которого диагонали равны одна другой, есть непременно квадрат. Решение задачи № 34

Поверка могла показать только то, что проверяемый четырехугольник имеет прямые углы, т. е. что он прямоугольник. Но равны ли его стороны – этого проверка не удостоверяла, как видно из чертежа 34-го.

Рис. 34.

Решение задачи № 35

Проверка недостаточна. Здесь (черт. 35) начерчено несколько четырехугольников, края которых, при перегибании по диагонали, совпадают. И все-таки – это не квадраты.

Рис. 35.

Такой проверкой можно убедиться только в том, что фигура симметрична, но не более. Решение задачи № 36

Эта проверка не лучше предыдущей. Вы можете вырезать из бумаги сколько угодно четырехугольников, которые выдержат эту поверку, – хотя они вовсе не квадраты. У этих фигур все стороны равны (это ромбы), но углы не прямые – это не квадраты.

Чтобы действительно убедиться, квадратной ли формы отрезанный кусок, нужно, кроме того, проверить также, равны ли их диагонали (или углы) (рис. 36).

Рис. 36.

Решение задачи № 37

Одна линия должна итти от вершины с к середине стороны de, другая – от этой середины к вершине а. Из полученных трех кусков 1, 2 и 3 составляется квадрат, как показано на чертеже (рис. 37).

Рис. 37.

Решение задачи № 38

Сторона квадрата должна быть раз в десять меньше 100 километров. Действительно, квадрат со стороною 10 километров (километр почти равен версте) заключает 10000x10000 = 100000000 квадр. метров. Если на каждом квадратном метре поместить 20 человек, то квадрат указанных размеров вместил бы

100000000x20 = 2000000000 человек, а это больше

1800000000, т. е. населения земного шара.

Итак, чтобы поместить все человечество, достаточен квадрат со стороною менее 10 километров.

Решение задачи № 39

Квадраты действительно равны.

Решение задачи № 40 Темных пятен никто не делал – их в действительности и нет. Мы видим их только вследствие обмана зрения.

Глава V Задачи о часах

ЗАДАЧА № 41

Когда стрелки встречаются?

В 12 часов одна стрелка покрывает другую (рис. 38). Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз.