Число и культура - А. Степанов

В средние века пентаграмма подверглась демонизации(4) (как, впрочем, и многое, что почиталось божественным в античном язычестве) и нашла приют в оккультных науках. Однако Возрождение вновь выносит на свет и пентаграмму, и золотое сечение. Так, широкое хождение в тот период утверждения гуманизма обрела схема, описывающая строение человеческого тела:

К такой картинке, по сути воспроизводящей пентаграмму 3-5, неоднократно прибегал и Леонардо да Винчи. Ее интерпретация: тело человека обладает божественным совершенством, ибо заложенные в нем пропорции – такие же, как в главной небесной фигуре.(5)

Так как я не числю себя экспертом ни в тайных науках, ни в теологии, ни в метафизике, в дальнейшем не будут затрагиваться "трансцендентные" интерпретации пентаграмм, их связь с небесным или инфернальным мирами. В центре внимания останутся куда более обыденные, позитивные свойства пропорции, ее связь с массовым сознанием и политикой ХХ в. Хотя в государственную символику двух сверхдержав и входили пятиконечные звезды, оставим историкам честь возводить их генезис к масонам, т.е. к паранаукам; у нас же вопрос о влиянии этого факта на коллективное сознание или о том, какие черты последнего нашли воплощение в данном геометрическом символе, оставлен за скобками.

В очередной раз интерес к золотому сечению вспыхнул во второй половине ХIХ – начале ХХ вв. Тот же Тимердинг ссылается на предшественников: на Цейзинга,(6) полагавшего, что построение частей в отношении золотого сечения есть "вообще основной принцип всякого созидания, стремящегося к красоте и цельности, как в царстве природы, так и в области искусства" [329, c. 57], на Франса Ксавера Пфайфера,(7) приводившего фотографические снимки объектов природы и результаты их измерений, на Г.Т.Фехнера,(8) а также на опыты Витмера (Witmer, 1894) и Сегала (Segal, 1906). "Для картин с ясно изображенным горизонтом, у которых расстояние между двумя параллельными линиями, а именно между верхним и нижним краем картины, должно быть разделено третьей параллелью – горизонтом, с давних пор установлено правило, что это деление должно производиться по золотому сечению" [329, c. 66]. Например, если на картине изображены море и небо (следовательно, и разделяющий их горизонт), то одно должно перевешивать, т.к. видовое различие между ними влечет за собой подчеркивание одной или другой части. Одному отдается предпочтение, но избегая преувеличения. Поиск среднего пути между равенством и преувеличением приводит к определенной пропорции, в результате чего мы обретаем спокойствие, уверенность, впечатление чего-то закрепленного в самом себе. Форматам книг, картинам, входным билетам, бумажникам, сундукам, шоколадным плиткам, пересказывает Тимердинг, часто придается форма, соответствующая золотому сечению (отношение сторон прямоугольника равно соответствующей величине). Опыты с людьми по выбору из десяти прямоугольников разной формы показывали заметное предпочтение золотого сечения.

Впрочем, сам Тимердинг, как рациональный ученый, значительно осторожнее: "Гораздо более правдоподобным является предположение, что золотому сечению первоначально было отдано предпочтение по рассудочным соображениям. Но вследствие того, что это отношение было избрано нормой для бесчисленного множества употребляемых форм и что его приближения, естественно получающиеся путем выбора удобных близких численных соотношений, в общем и целом выдвигаются снова, оно в конце концов так утвердилось в представлении, что даже бессознательный выбор отношения размеров тоже тяготеет к нему" [329, c. 73].

Древние принципы соразмерности действуют как в живописи, так и в архитектуре: от Вавилона (в котором, напомним, роль главной фигуры играл равносторонний треугольник и благодаря ему отношение 1 : √3 ), Малой Азии, Греции, через искусство рисования и архитектурную готику европейских Средних веков до эпохи Леонардо да Винчи и Дюрера.(9) У египтян и вавилонян соотношение размеров в храме имело священное значение. Витрувий (III, гл.1), которому следовал Лука Пачоли в изложении архитектурных вопросов, выдвигал требование "симметрии" (теперь это слово употребляется в совсем другом смысле). Симметрия происходит от пропорции, которая по-гречески называется "аналогией". Пропорциональность означала при этом "согласованность соответствующих частей постройки между собой и целым". Архитекторам надлежит в совершенстве владеть учением о симметрии. При построении отдельных частей пользуются одним и тем же отношением, обнаруживающимся у целого.

Тимердинг приводит математическую расшифровку: части постройки должны быть членами геометрической прогрессии

с, сx, сx2, сx3, сx4, сx5, …

(13 )

Ее графическое изображение:

В частном случае, когда прогрессия (13) является возвратной, т.е. когда первый член и, следовательно, каждый другой равен сумме двух последующих,(10) получаем с = сx + сx2, или 1 = x + x2, что повторяет уравнение для золотого сечения (7).

Сходным образом, отталкиваясь от Цейзинга, Тимердинг интерпретирует и природные явления, в частности закон листорасположения:

Так, Тимердинг утверждает: "К тому же в природе, по-видимому, действительно выполняется некоторый закон пропорций, не совпадающий, правда, с отношением золотого сечения, но, так сказать, одного с ним направления. Этот закон можно так сформулировать: когда однородные части следуют друг за другом в порядке убывания величины, если нет возмущающих влияний, уменьшение происходит в геометрической прогрессии; так же происходит и увеличение там, где величина частей возрастает" [329, c. 58]. Направление в природных объектах задано ростом, и более старые части, из которых вырастают новые, оказываются либо самыми маленькими, либо, наоборот, самыми большими. Этот закон назвали законом натурального роста. Там, где он соблюдается, может встретиться и отношение золотого сечения, если не точное, то приближенное.

Выше уже упоминалось о связи золотого сечения с числами Фибоначчи. Н.Н.Воробьев уточняет и дополняет сказанное Тимердингом: "Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидно расположенных мелких частях растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, в другом – против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи. Так, взяв сосновую веточку, легко заметить, что хвоины образуют две спирали, идущие справа внизу налево вверх. Вместе с тем они же составляют три спирали, идущие слева снизу направо вверх. На многих шишках семена (т.е. "чешуйки") расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13. У многих сложноцветных (например, у маргаритки или ромашки) заметно спиральное расположение отдельных цветков в соцветиях-корзинках. Число спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом и даже соответственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может достигать соответственно 55 и 89" [86, c. 122].

В книге Н.Н.Воробьева обсуждается вопрос и непосредственно о золотом сечении. Приведем две цитаты: "Выдающийся геометр и астроном ХVII века И.Кеплер (известный, впрочем, в свое время больше как астролог) отваживался даже ставить формулировку закономерности золотого сечения на один уровень с таким фундаментальным математическим фактом, как теорема Пифагора" [там же, с. 123]. И на той же странице: "Различными философами древности и средневековья внешняя красота прямоугольников и треугольников золотого сечения, а также других фигур, в которых наблюдается деление в среднем и крайнем отношении, возводилась в эмпирический и даже философский принцип. Золотым сечением и еще некоторыми отношениями пытались не только описывать, но и объяснять явления природы и даже общественной жизни, а с самим числом α (11) и его подходящими дробями производились разного рода мистические операции. Важную роль в таких рассмотрениях играла фигура, изображенная на рис. 3-5, которая при этом называлась пентаграммой". Далее Н.Н.Воробьев говорит о современном возрождении интереса к золотому сечению, в целом оценивая данный факт как негативный (что, впрочем, не помешало автору уделить значительное внимание этой теме в собственной брошюре). В России вопрос о золотом сечении, помимо Н.Н.Воробьева, затрагивался, например, в книге Е.И.Игнатьева "В царстве смекалки, или Арифметика для всех" [136].