Удивительные числа Фибоначчи - Александр Иванович Бородулин
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Некоторые, с усмешкой, скажут, что эту задачу можно решить применяя формулу: R * (V1 * V2) / (V1 + V2)
А если бы нам было известно расстояние, которое проплыла лодка, а надо было бы узнать ширину реки? Нам потребовалась бы формула: (L2 + L2 * V1 / V2) / 2
Но неужели держать в памяти огромное количество формул, да при этом помнить какая формула к какой ситуации подходит, легче, чем научится просто рассуждать?
Мы можем переложить эту задачу в другую. Например, папа с сыном копают грядку. Папа копает в два раза быстрее, а конкретно метр за пять минут. Длина грядки шесть метров. За сколько времени они вскопают грядку, если начнут копать с разных концов. Для этого нам необходимо и достаточно узнать сколько вскопает сын, к моменту встречи. А к моменту встречи, они вскопают всю грядку. Причем отец вскопает две части грядки, а сын только одну часть. А эта часть составит треть от всей грядки. То есть два метра. А если папа копает метр за пять минут, то сын за десять. А два метра за двадцать. Ответ готов! Через двадцать минут мама с дочкой уже могут сажать в грядку семена.
А вот математик Леонардо, сын купца Гильермо из итальянского города Пиза, по прозвищу (которое ему не нравилось) «Фибоначчи» поставил для себя очень интересную задачу: Если купить пару крольчат (мальчика и девочку), которые через месяц станут взрослыми. А еще через месяц у них родится пара крольчат (мальчик и девочка). Которые через месяц тоже повзрослеют. А к тому времени у их родителей снова родится пара крольчат (мальчик и девочка). И вот так будет со всеми кроликами постоянно! Все кролики будут всегда здоровы и никогда не умрут.
Требуется узнать какое количество пар кроликов будет на ферме при таком воспроизводстве через заданное время?
Разумеется, с кроликами подобное воспроизводство не реально. Но решение этой идеализированной задачи привело к пониманию многих реальных процессов развития живых существ!
Для того, чтобы не утруждаться подсчетом кроликов, давайте переложим эту задачку на поле чудес из сказки «Буратино». Представим, что существует некое поле чудес, где из посаженной монетки за один день вырастает деревце, а затем каждый день на нем созревают монетки, которые падают, и из них, также, вырастают денежные деревца. При этом монетки в почве не растрачиваются.
Начнем? У нас есть одна монетка, которую мы посадим в это чудесное поле.
На следующий день на поле выросло деревце.
На следующий день на деревце созрела монетка, которая упала и зарылась.
На следующий день на деревце созрела монетка, которая упала и зарылась. И выросло еще одно деревце.
На следующий день на деревце созрела монетка, которая упала и зарылась. На вновь выросшем деревце созрела монетка, которая упала и зарылась. И выросло еще одно деревце.
На следующий день на трех деревцах созрели монетки, которые упали и зарылись. И выросли еще два деревца.
Пожалуй, пора подсчитать! В первый день была только одна монетка. Во второй день так и осталась эта одна монетка. В третий день уже стало две монетки. В четвертый день мы насчитаем три монетки. В пятый день у нас в распоряжении окажутся целых пять монеток. В шестой день на поле будут уже восемь монеток.
Сколько монеток будет в седьмой день? А сколько в десятый?
С каждым разом вести подсчет будет все труднее и труднее!
Нужно понять, по какому правилу развивается эта числовая последовательность?
Самая простая и понятная для нас числовая последовательность — это ряд натуральных чисел. Эта последовательность, как мы уже говорили, образуется по правилу: следующее число образуется прибавлением единички к текущему числу. Но это не единственное правило! Давайте приведем несколько примеров.
Будем складывать те же натуральные числа, выписанные каждое по два раза. При этом один ряд начнем с нуля, а другой уже с единички.
0_1_1_2_2_3_3_4_4_5_5
1_1_2_2_3_3_4_4_5_5_6
________________________
1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_11
Другим способом, будем удваивать текущее число и вычитать предыдущее. Начнем с нуля и единички. Единичку умножим на два и вычтем ноль. Получим число два. Затем, два умножим на два и вычтем один. Получим три. Далее, три умножим на два и вычтем два. Получим четыре. И, так далее…
А если попробовать утраивать текущее число и вычитать удвоенное предыдущее? Единичку умножим на три и вычтем дважды ноль. Получим три. Три умножим на три и вычтем удвоенную единичку. Получим семь. Семь умножим на три и вычтем удвоенное число три. Получим пятнадцать…
Ерунда какая-то получается! Но мы ведь не сдадимся? Посмотрим на получившийся ряд: ноль, один, три, семь, пятнадцать. Каждое последующее число на единичку больше удвоенного текущего. Попробуем это исправить, и из утроенного текущего числа вычитаем не только удвоенное предыдущее, а еще единичку.
Единичку умножим на три, вычтем дважды ноль и вычтем единичку. Получим два. Два умножим на три, вычтем удвоенную единичку и вычтем единичку, как постоянно вычитаемое число. Получим три. Вроде получается. Но необходимо удостовериться! Утраиваем три, вычитаем удвоенное число два, и, как повелось, вычитаем единичку. Получим четыре. Можно и дальше продолжать, но, уже и так, видно, что мы задали правильное образование ряда.
Теперь, мы можем уже смело утверждать, что если умножить текущее число на четыре, и на пять, и на шесть, и вычитать предыдущее, умноженное на три, и на четыре, и на пять, соответственно, а затем вычитать каждый раз два, три, четыре, мы будем неизменно получать ряд натуральных чисел.
А также, можем к предыдущему числу прибавлять всякий раз число два. Проверим! К нулю прибавим два. Получим два. К единичке прибавим два. Получим три. К двум прибавим два. Получим четыре. К трем прибавим два получим пять. Как говорится, что и требовалось доказать!
Вот сколько способов образования ряда натуральных чисел мы рассмотрели.
Вполне можно предположить, что и ряд «Фибоначчи» тоже образуется по какому-то определенному правилу. Определив это правило, мы можем вычислять количество монет, которое будет на поле чудес в любой день.
Но, сначала давайте образуем числовой ряд по правилу: следующее число образуется как удвоенное текущее, из
