Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - Эткинз (Эткинс) Питер

Рис. 7.5.Типичная волновая функция (слева). Это волновая функция маятника, который качается с малой начальной энергией. Квадрат волновой функции (показанный справа) говорит о вероятности того, что качающийся маятник будет обнаружен в данном положении. Мы иллюстрируем эту интерпретацию с помощью плотности тени в наложенной горизонтальной полосе.

Теперь давайте посмотрим, на что похожи другие волновые функции. Волновая функция свободной частицы очень проста. Предположим, что частица, о которой мы говорим, является шариком-бусинкой, способным скользить по длинной горизонтальной проволоке. Потенциальная энергия шарика является одной и той же, безотносительно к его позиции, поэтому мы можем подозревать, что волновая функция не будет благоволить каким-либо особым областям. Медленная частица имеет низкую кинетическую энергию, поэтому ее волновая функция имеет лишь небольшую кривизну (рис. 7.6); другими словами, волновая функция медленно двигающейся частицы является однородной волной с большой длиной волны, в точности, как говорит нам соотношение де Бройля. Быстрая частица — с большой кинетической энергией — имеет волновую функцию с большой кривизной, так что она извивается вверх и вниз много раз на коротком интервале, и поэтому является однородной волной с очень короткой длиной волны. Обе эти волны просто являются тем, что предсказывает соотношение де Бройля.

Рис. 7.6.Диаграмма слева показывает две волновых функции для шарика-бусинки, движущегося по длинной горизонтальной проволоке с остановками на каждом ее конце. Одна функция соответствует маленькому импульсу, а другая большому. Диаграмма справа показывает для каждой точки проволоки вероятность обнаружения шарика, движущегося быстрее.

Где скорее всего мы найдем частицу? Давайте представим себе шарик, носящийся взад и вперед по длинной проволоке, поворачивая обратно на каждом ее конце, и рассмотрим его движение как случайное. Из-за того, что шарик движется с постоянной скоростью, в соответствии с классической физикой шансы найти его в любой точке проволоки равны. Квантовая механика дает иное предсказание. Чтобы предсказать, где будет обнаружен шарик, мы воспользуемся предложением Борна: вычислим квадрат волновой функции в каждой позиции и интерпретируем результат как вероятность обнаружить частицу в этой позиции. Как можно видеть из иллюстрации, частица с наибольшей вероятностью будет обнаруживаться в серии одинаковых областей, регулярно расположенных на проволоке, а не будет распределена совершенно однородно.

Теперь давайте посмотрим, как волновая функция свободной частицы соответствует принципу неопределенности, согласно которому, если мы знаем импульс, мы не можем знать положения, и наоборот. Волновая функция, подобная изображенной на рис. 7.6, распространяется по всей длине проволоки, поэтому мы не можем предсказать, где находится частица: она может быть в любом месте проволоки. С другой стороны, импульс мы знаем точно, поскольку знаем точно длину волны. Итак, мы знаем точный импульс, но ничего не можем сказать о положении, именно так, как этого требует принцип неопределенности. На самом деле длина волны дает нам только величинуимпульса: мы не знаем, движется ли частица направо или налево. Но из-за того, что частица не размазана по проволоке совершенно однородно, мы не остаемся в полном неведении о том, где она находится, и, таким образом, некоторое незнание относительно ее импульса (его направления) открывает возможность некоторого знания о том, где она находится (особенно, где она не находится). Вероятно, вы начинаете улавливать тонкость связи между знаниями о том, где вещи находятся и как быстро они движутся.

Пусть теперь случилось так, что мы знаем, в какой области проволоки на самом деле находится частица. Ее волновая функция выглядела бы похожей на изображенную на рис. 7.7 с резким пиком там, где частица скорее всего находится. Если мы хотим узнать импульс частицы, нам следовало бы определить длину волны этой волновой функции. Но функция с резким пиком не имеет определенной длины волны, поскольку она не является протяженной волной, так же как импульс звука — хлопок — не имеет определенной длины волны. Что же это говорит нам об импульсе частицы?

Рис. 7.7.Волновой пакет, образованный суперпозицией тридцати волновых функций, подобных изображенным на предыдущей иллюстрации, но с различными длинами волн. Хотя частица с большой вероятностью будет обнаружена в довольно четко определенной области пространства, мы ничего не можем сказать о том, какое из тридцати значений импульса будет преобладать. В дальнейшем обсуждении мы увидим, что этот волновой пакет движется подобно классической частице.

Мы можем представить волновую функцию с пиком, изображенную на иллюстрации, как результат сложения — технически выражаясь, суперпозиции —множества волн с различными длинами, каждая из которых соответствует определенному импульсу. В ситуации, изображенной на рисунке, эти волны, складываясь там, где их гребни совпадают, образуют пик реальной волновой функции и гасят друг друга там, где их гребни совпадают со впадинами. Такая суперпозиция волновых функций называется волновым пакетом. Когда мы хотим узнать величину импульса частицы с волновой функцией, подобной изображенной на рисунке, мы вынуждены сказать, что она может быть любойиз величин, представленных длинами тех волн, которые использовались при формировании волнового пакета. То есть наша частично локализованная частица имеет неопределенность импульса, в точности как того требует принцип неопределенности.

Если мы точно знаем, где находилась частица в некоторый момент времени, ее волновая функция должна была тогда представлять собой очень заостренный шип, с нулевой амплитудой всюду, кроме места, где находилась частица. Такой шип тоже является волновым пакетом, но чтобы получить бесконечную заостренность его положения, мы должны составить суперпозицию бесконечного числа волн с различными длинами, а значит, и импульсами. Принцип неопределенности является квантовой версией потери ориентации: вы либо знаете, где вы, но не знаете, куда вы идете, либо знаете, куда вы идете, но не знаете, где вы.

Концепция волнового пакета помогает нам навести мосты между квантовой механикой и привычной комфортабельностью классической механики, поскольку он несет некоторые черты классических частиц. Чтобы увидеть эту связь, давайте представим себе шарик на проволоке, которая не горизонтальна, а наклонена вниз слева направо. В классическом случае мы ожидаем, что шарик будет скользить по проволоке, двигаясь быстрее и быстрее. А что говорит квантовая механика?

Сначала нам нужно построить волновую функцию шарика и, проделав это, мы сможем узнать, что говорит нам уравнение Шредингера о ее кривизне. Поскольку энергия шарика постоянна (энергия сохраняется, глава 3). а его потенциальная энергия убывает слева направо, его кинетическая энергия возрастает слева направо вдоль проволоки. Возрастание кинетической энергии соответствует возрастанию кривизны. Мы можем ожидать, что волна будет иметь длину, укорачивающуюся слева направо. Такая волновая функция для частицы с абсолютно точно определенной полной энергией будет похожа на изображенную на рис. 7.8.

Рис. 7.8.Общая форма волновой функции для шарика-бусинки на проволоке, удерживаемой под углом к горизонтали, имеющего поэтому спадающую вправо потенциальную энергию. Заметьте, что длина волны становится все короче, по мере того как мы продвигаемся все дальше направо, что в классическом подходе соответствует возрастанию кинетической энергии частицы при скольжении вниз по проволоке.