Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - Эткинз (Эткинс) Питер

неопределенность положения × неопределенность импульсане меньше чем ħ.

Нам следует считать принцип неопределенности Гейзенберга экспериментальным результатом даже несмотря на то, что микроскопический эксперимент, который мы описали, не был проведен явно: принцип неопределенности, в том виде, в котором он был сформулирован Гейзенбергом, является итогом тщательного анализа систематизированных экспериментов в свете современных знаний. Конечно, настоящий эксперимент мог бы дать и результат, совершенно отличный от того, который мы предсказываем для одного из этих gedanken(мысленных) экспериментов; это в конечном счете самая суть роли экспериментов в научном методе. Однако при условии, что наше понимание верно, если современная наука состоятельна, то заключение Гейзенберга правильно.

Классическая физика, которая совсем ничего не знала об импульсе фотона, поскольку ничего не знала о самих фотонах и пребывала в неведении о постоянной Планка, основывалась на точке зрения, что положение и импульс можно одновременно узнать с произвольной точностью. Теперь возникает вопрос: как принцип неопределенности — который нам следует считать фундаментальным описанием природы и глубоким отходом от классической физики — может быть включен в математическое описание движения? В классической физике мы представляли себе, что положение и импульс частицы меняются со временем и развертываются во времени как вполне определенная траекториячастицы.

Мы можем подойти к ответу следующим образом. Очевидно, что для любого заданного момента мы можем написать:

положение × импульс − импульс × положение = 0.

Например, если положение измеряется расстоянием в две единицы от некоторой точки, а импульс измеряется тремя единицами, то первый член в левой части дает 2 ×3 = 6 единиц, а второй член дает 3 ×2 = 6 единиц, и их разность, очевидно, равна нулю. Однако, каким бы очевидным ни было это сокращение членов, в квантовой механике оно совершенно определенно не верно. Проще говоря, поскольку мы не знаем одновременно положение и импульс, мы не можем быть уверены, что каждый член в точности равен 6 единицам (или тому, что дают наши измерения), поэтому возможно, что первый член в этом выражении отличается от второго на какую-то величину, имеющую порядок постоянной Планка. Великим достижением Гейзенберга была демонстрация того, что экспериментально подтвержденное утверждение о мире, соотношение неопределенностей для положения и импульса, может быть получено только, если правая часть выражения не равна нулю, а представляет собой, на самом деле, постоянную Планка, ħ: [31]

положение × импульс − импульс × положение = ħ.

Классические физики молчаливо предполагали, что правая часть этого коммутационного соотношенияравна нулю, и на этом основании построили чудесное здание классической физики. Теперь мы знаем, что правая часть не равна нулю, но столь мала, что заблуждение классических физиков не удивительно. Тот факт, что правая часть не равна нулю, имеет глубокие следствия и является той малостью, которая сокрушила классическую физику.

Гейзенберг, при сотрудничестве своих коллег, — Макса Борна (1882-1970) и Паскуаля Иордана (1902-80), нашел как включить в квантовую механику ненулевую правую часть выражения для положения и импульса. Шредингер тем временем нашел другой путь. Вспомните, что де Бройль предположил, что существуют волны вещества как-то «ассоциированные» с частицами и что, принимая во внимание интерференцию, выживающая волна распространяется по пути наименьшего действия. Довольно легко найти правила, по которым волна ощупью пробирается через пространство, чтобы найти путь выживания. Эти правила и являются содержанием уравнения Шредингера. [32]Прославленное уравнение показывает, как волна вещества меняется от точки к точке, и оказывается, что, для того чтобы сформулировать его, необходимо использовать в точности то же самое выражение для положения и импульса, которое Гейзенберг должен был использовать, чтобы пробить брешь в классической физике. Центральная роль этого соотношения в обеих формулировках является основной причиной, по которой подходы Гейзенберга и Шредингера математически эквивалентны.

Когда мы решаем уравнение Шредингера, мы получаем математические выражения для формы волн вещества. Термин «волна вещества» больше не используется, как и его интерпретация, принадлежащая де Бройлю. Современным названием для «волны вещества» является волновая функция(термин, с которым мы впервые столкнулись в главе 5), и далее мы будем пользоваться им.

Волновые функции не являются просто математическими формулами, не имеющими смысла: мы можем проследить, как современная интерпретация их физического смысла восходит к предположению, сделанному Борном. Борн заметил, что в классических (волновых) терминах интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды (меры отличия от нуля) электромагнитной волны, в то время как в квантовых (фотонных) терминах эта интенсивность пропорциональна вероятности обнаружения фотона в данной области пространства. Если амплитуда световой волны удваивается, его интенсивность учетверяется (луч становится в четыре раза ярче), и мы с учетверенной вероятностью обнаружим фотон в этой области пространства. Затем он предположил, что естественно распространить это соотношение на волновые функции и интерпретировать квадрат волновой функции частицы в некоторой точке, как дающий вероятность обнаружения в ней этой частицы. Так, если волновая функция в одном месте имеет вдвое большую амплитуду, чем в другом, то шансов обнаружить частицу в первом положении в четыре раза больше, чем в последнем. Мы можем заключить, что там, где квадрат волновой функции велик, имеется высокая вероятность обнаружения частицы, а там, где он мал, вероятность обнаружения частицы низка (рис. 7.4). Такая интерпретация, как можно видеть, означает, что области, где волновая функция является отрицательной величиной, — соответствующие впадине волны на воде — имеют тот же смысл, что и области, где она положительна, поскольку мы пользуемся квадратом волновой функции, и отрицательные области тоже становятся положительными.

Рис. 7.4.Интерпретация волновой функции, данная Борном. Сплошная линия является произвольной волновой функцией: заметьте, что она проходит через ноль в нескольких точках (они называются узловыми точками) и имеет области положительной и отрицательной амплитуды. Возведя волновую функцию в квадрат, мы получаем линию из точек, которая всюду неотрицательна, но равна нулю там, где равна нулю волновая функция. В соответствии с интерпретацией Борна эта кривая говорит нам о вероятности обнаружения частицы в каждой точке пространства. Мы изображаем эту интерпретацию с помощью плотности тени в наложенной горизонтальной полосе.

Волновая функция может оказаться концепцией, несколько более трудной для понимания, несмотря на интерпретацию Борна. В ряде следующих параграфов я попытаюсь дать вам представление о том, на что это похоже. Я также покажу вам, как можно решать уравнение Шредингера в уме, даже не видя его и не имея ни малейшего представления о том, что значит решать уравнение в частных производных второго порядка.

С более общей точки зрения уравнение Шредингера является уравнением для кривизны волновой функции: оно сообщает нам, где волновая функция изгибается более резко, а где более плавно. Ее кривизна является наибольшей там, где кинетическая энергия частицы велика, и наименьшей там, где кинетическая энергия частицы мала. Например, волновая функция для груза на конце маятника выглядела бы довольно похожей на функцию, показанную на рис. 7.5: груз быстрее всего движется в средней точке своего качания и медленнее всего на концах, в точках возврата, где он меняет направление движения, и мы теперь видим, что волновая функция искривляется более резко около средней точки области ее существования. Отметим также, что волновая функция имеет наибольшую амплитуду вблизи точек возврата: это соответствует знакомому поведению маятника, поскольку наиболее вероятно обнаружить его там, где он движется наиболее медленно, а это происходит в конечных точках его качания, где он меняет направление движения.