Собрание сочинений. Том 5. 1981-1982 - Михаил Васильевич Попов

станет больше второй. Это, однако, верно только в случае постоянных темпов роста.

Уже на простом графическом примере можно убедиться, что возможен случай, когда одна величина

растет большим темпом, чем величина , и тем не менее вторая величина не только остается больше первой, но разрыв между ними все увеличивается.

Сразу заметим, что из приведенного здесь графика (рис. 4) непосредственно видно только, что скорость роста (изображаемая угловым коэффициентом) величины

меньше скорости роста величины , поскольку угол больше, чем угол . Однако соотношение темпов роста усмотреть из графика сложнее.

Для того чтобы понять, как связаны друг с другом темпы роста величин

и , надо проследить за отношением и воспользоваться тем, что темп прироста величины больше темпа прироста величины тогда и только тогда, когда отношение убывает. В силу того, что темп роста отличается на от темпа прироста, имеем: темп роста величины тоже больше темпа роста величины тогда и только тогда, когда отношение убывает. Обратившись к графику, убедимся в том, что убывание действительно имеет место. В самом деле: при , а при , т. е. . Да и вообще, как легко видеть, , т.е. отношение с увеличением убывает.

Значит, темп роста

величины больше темпа роста величины .

Попутно мы получили тот вывод, что графики не очень наглядно изображают соотношение темпов прироста или роста. Для сравнения темпов роста лучше пригодилась бы диаграмма, изображающая долю

в (рис. 5).

Зато такая диаграмма не годится для измерения абсолютных изменений. Разность между

и на самом деле растет, а на диаграмме это не только не отражено, но и создается видимость обратного.

Итак, темп роста

выше темпа роста , но как видно из графика (см. рис. 2), разность между и возрастает. Последнее можно получить и формально:

поскольку

.

Подчеркнем, что свойства темпа роста, отражающего относительное изменение величины

и скорости роста, выражающей ее абсолютное изменение или (при переходе к пределу), никак не дают повода к отождествлению этих понятий. Например, если , то скорость роста величины постоянна , а темп роста убывает с течением времени. Мало того, можно привести пример, в котором эти показатели изменяются в прямо противоположных направлениях. Пусть , тогда скорость монотонно возрастающая функция времени. Однако темп роста есть, наоборот, монотонно убывающая функция времени.

Постоянным скоростям изменения параметров соответствуют переменные темпы роста и прироста. Это можно усмотреть из рис. 2 или получить из определения темпа роста.

Если

, а , то

Мы видим, что

оказались функциями времени, отличными от постоянных во всех случаях, когда и не являются постоянными.

Задачи.

1. В течение года производительность труда возросла на

, количество работников – на . Каков годовой темп прироста объема производства?

2. Годовой темп прироста производственных фондов равен

, а объема производства – . Каков годовой темп прироста фондоотдачи?

3. Промышленное производство СССР по объему продукции составляет в настоящее время около

от промышленного производства США. Предположим, что в среднем в год объем промышленной продукции СССР увеличивается на , а США – . Через сколько лет СССР превзойдет США по данному экономическому показателю?