Хаос. Создание новой науки - Джеймс Глейк

Но сейчас, отринув сомнения, Хаббард все-таки обратился к компьютеру, чтобы выполнить то, что общепринятые методы обошли стороной. Компьютер не доказал бы ничего, но, по крайней мере, он мог бы кое-что прояснить, чтобы математик понял, что именно ему предстоит доказать. Итак, Хаббард начал экспериментировать, рассматривая Ньютонов метод не как средство решения задач, а как саму задачу. Он взял в качестве примера простое кубическое уравнение x³ — 1 = 0, при решении которого требуется найти кубический корень из единицы. В случае с действительными числами решение вполне тривиально — единица. Однако данный многочлен имеет также два комплексных корня:

Нанесенные на комплексную плоскость, три указанных корня образуют равносторонний треугольник, одна вершина которого будет находиться на трех часах, другая — на семи часах, и третья — на одиннадцати часах. Коль скоро в качестве начальной точки выбрано любое комплексное число, вопрос заключается в том, чтобы увидеть, какое именно из трех решений даст вычисление по методу Ньютона. Это все равно что рассматривать данный метод как динамическую систему, а три решения — как три аттрактора. Или представить комплексную плоскость в виде ровной поверхности, спускающейся к трем углублениям. Мраморный шарик, начав катиться с любой точки на плоскости, приведет в одну из долин. Какую?

Хаббард приступил к рассмотрению бесконечного числа точек, составляющих плоскость. Его компьютер переходил от точки к точке, рассчитывая Ньютоновым методом каждую из них и кодируя результат определенным цветом. Те начальные точки, которые вели к первому решению, стали синими, точки, генерировавшие второе решение, — красными, а тем, которые давали третий результат, был присвоен зеленый цвет. Математик заметил, что даже при самом грубом приближении плоскость в силу динамики метода действительно делится на три сектора. Как правило, точки, близкие к определенному решению, быстро вели прямо к нему. Тем не менее систематическое компьютерное исследование выявило сложную скрытую организацию, которая ранее никогда не могла быть обнаружена математиками, способными только рассчитывать точки в разных зонах. В то время как некоторые начальные предположения быстро приводили к одному из корней, другие словно бы «прыгали» рядом с ним совершенно произвольно, пока не приближались наконец к решению. Иногда казалось, что точка может стать началом периодического цикла, который будет повторяться вечно, не достигая ни одного из трех возможных корней.

Когда Хаббард запустил компьютер, намереваясь более детально исследовать пространство, начала вырисовываться картина, которая сбила с толку и преподавателя, и его студентов. Например, вместо аккуратного «гребня» между синей и красной долинами математик увидел пятна зеленого цвета, соединенные словно бусины ожерелья. Это выглядело так, словно шарик, попавший в ловушку на стыке двух соседних долин, остановился в третьей, самой отдаленной зоне. Граница между двумя цветами никогда полностью не формировалась, и даже при увеличении линия между зеленым пятном и синей областью включала в себя клочки красного цвета. И так снова и снова… Линия границы в конце концов открыла Хаббарду особое свойство, которое показалось бы весьма странным даже человеку, знакомому с жуткими фракталами Мандельбро: ни одна из точек не разделяет только два цвета. Где бы два цвета ни старались соединиться, там всегда появляется третий, внедряясь новыми, внутренне подобными рядами. Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех цветов.

Хаббард начал изучать обнаруженные сложные формы. В результате его работа, а также исследования коллег ознаменовали собой новый штурм проблемы динамических систем. Ученому стало ясно, что схематичное отображение Ньютонова метода — одно из целого семейства еще не открытых изображений, передающих действия сил в реальном мире. Майкл Барнсли столкнулся с другими фрагментами такого же рода, а Бенуа Мандельбро, как вскоре поняли и Хаббард и Барнсли, обнаружил прототип всех этих форм.

Множество Мандельбро, как любят повторять его почитатели, является наиболее сложным объектом во всей математике. Чтобы увидеть его полностью — круги, усыпанные колючими шипами, спирали и нити, завивающиеся наружу и кругом, с выпуклыми пестрыми молекулами, висящими, словно виноградины на личной лозе Господа Бога, — не хватит целой вечности. Если разглядывать модель в цвете на подходящем экране, множество Мандельбро кажется более фрактальным, нежели сами фракталы, настолько оно изобилует сложностью, пронизывающей все масштабы картины. Построение каталога различных составляющих элементов или числовое изображение очертаний системы потребует бесконечного количества данных. Однако, как это ни парадоксально, для передачи полного описания системы по линии связи хватит нескольких десятков кодовых символов, а в компьютерной программе содержится достаточно информации, чтобы воспроизвести систему целиком. Догадавшиеся первыми, каким образом в системе смешиваются сложность и простота, были застигнуты врасплох — даже сам Мандельбро. Система превратилась в эмблему хаоса для широкой публики. Она замелькала на глянцевых обложках тезисов конференций и инженерных журналов и сделалась украшением выставки компьютерного искусства, показанной во многих странах в 1985–1986 годах. Ее красота ощущалась сразу. Гораздо труднее было уловить математический смысл. Ученые долго вникали в ее суть.

Неисчислимое разнообразие фрактальных форм может быть образовано итерацией в комплексной плоскости, но система Мандельбро была одной-единственной. Смутная и призрачная, она начала вырисовываться, когда ученый попытался найти способ сведения к общим законам класса форм, известного как множества Джулиа. Множества эти были открыты и изучены еще во время Первой мировой войны французскими математиками Гастоном Джулиа и Пьером Фато, работавшими без каких бы то ни было компьютерных изображений. Мандельбро в двадцатилетнем возрасте познакомился с их скромными рисунками и прочитал их работу, уже канувшую в безвестность. Именно множества Джулиа во всем разнообразии обличий оказались тем, что поставило в тупик Барнсли. Некоторые из порождаемых ими форм похожи на круги, проколотые и деформированные во многих местах, что придает им фрактальную структуру, другие разбиты на зоны, третьи — на разъединенные пылинки. Для их описания не подходят ни обычные слова, ни понятия Евклидовой геометрии. Французский математик Адриен Доуди заметил: «Получив непредсказуемо многоликие образы множеств Джулиа, замечаем, что некоторые выглядят словно пухлое облако, другие представляют собой тощий куст ежевики, третьи похожи на искорки, плывущие в воздухе после фейерверка. Один объект напоминает кролика, и многие имеют хвосты, как у морских коньков».

Рис. 8.1. Примеры изображений, полученных с помощью множеств Джулиа.

В 1979 г. Мандельбро обнаружил, что может создать в пределах комплексной плоскости один образ, который послужит своего рода каталогом множеств Джулиа, ориентиром для каждого из составляющих эти множества объектов. Тогда он изучал итерационные решения квадратных и тригонометрических уравнений (последние включали функции синуса и косинуса). Даже основываясь на гипотезе о порождении простотой сложности, он отнюдь не сразу понял, насколько необычным являлся объект, возникший на экране монитора в его кабинете в Гарварде. Программисты, пытаясь эффективно распределить память компьютеров, корпели над новыми интерполяциями точек в машине IBM с обладающим низким разрешением, черно-белым дисплеем, а ученый торопил их, желая рассмотреть мельчайшие детали. Вдобавок приходилось следить за тем, чтобы не попасть в ловушку артефактов, возникающих из-за сбоя в машине и исчезающих при изменении программы.

Мандельбро обратился к простейшим изображениям, запрограммировать которые не составляло труда. На грубо набросанной координатной сетке, где несколько раз повторялась петля обратной связи, возникли первые контуры кругов или дисков. Проделанные вручную расчеты показали, что с математической точки зрения они вполне реальны и не являются некими вычислительными странностями. Справа и слева от главных дисков появлялись иные неясные очертания. Как позже вспоминал сам Мандельбро, воображение нарисовало ему нечто большее — целую иерархию форм, где от атомов, словно ростки, отпочковываются всё новые и новые атомы, и так до бесконечности. А там, где система пересекала действительную ось, ее уменьшающиеся с каждым разом диски подчинялись определенному масштабированию с геометрической регулярностью, которую ученые, занимающиеся динамическими системами, определяют сейчас как последовательность бифуркаций Файгенбаума.