Хаос. Создание новой науки - Джеймс Глейк

Граница находится там, где программа для системы Мандельбро идет на множество компромиссов, а ее скорость замедляется более всего. На указанном рубеже, когда сто, или тысяча, или десять тысяч итераций не приносят результата, программа все еще не может дать определенного ответа на вопрос, входит ли определенная точка в пределы системы или нет. Кто знает, что принесет миллионная итерация? Поэтому программы, которые строят самые захватывающие изображения системы с наиболее детальным увеличением, выполняются на мощных универсальных вычислительных машинах или компьютерах с параллельной обработкой данных, где тысячи индивидуальных процессоров производят одни и те же вычисления в аналогичном порядке. Граница располагается там, где точки медленнее всего ускользают от притяжения системы, будто балансируя между двумя соревнующимися аттракторами, один из которых располагается в нуле, а другой — на бесконечности.

Когда ученые, закончив с системой Мандельбро, обратились к изображению реальных физических явлений, свойства границы вышли на передний план. Происходящее на рубеже между двумя аттракторами в динамической системе служит своего рода отправной точкой, определяющей ход множества широко известных процессов, начиная от разрушения материалов и заканчивая принятием решений. Каждый аттрактор в такой системе, подобно реке, имеет свой «бассейн», свою «площадь водосбора», и каждый такой «бассейн» заключен в определенные границы. В начале 80-х годов для группы наиболее влиятельных физиков самым многообещающим разделом математики и физики оказалось изучение границ фрактальных бассейнов.

Упомянутый раздел динамики исследует не конечное и устойчивое поведение системы, а механизм «выбора» между двумя возможными вариантами. Система, подобная модели Лоренца — а она сегодня считается уже классической, — включает в себя лишь один аттрактор, обнаруживает одну модель поведения, преобладающую в момент достижения системой состояния покоя. В данном случае аттрактор является хаотическим. Другие системы способны в конечном устойчивом состоянии демонстрировать нехаотическое поведение, но могут испытывать более одного стабильного состояния. Исследование границ фрактальных бассейнов было исследованием систем, которые способны достигнуть одного из нескольких нехаотических конечных состояний. Оно приводило к вопросу о том, как предсказать каждое из этих состояний. Джеймс Йорк, пионер в изучении данного феномена, предложил моделировать их с помощью воображаемой игры в пинбол — разновидность бильярда, где вашим партнером выступает механическое устройство с рукояткой на пружине. Оттянув рукоятку, мы освобождаем ее, чтобы направить шар на игровое поле. Сконструированный с углом наклона автомат обычно имеет резиновые бортики и электрические толкатели, которые сообщают шару огромную энергию. Такой толчок весьма важен, так как энергия передается резким, мощным импульсом. Простоты ради представим себе, что в нижней части воображаемого автомата нет резиновых бортовых лент, а только две наклонные плоскости для шара, по одной из которых он и выходит на поле.

Мы играли в детерминистский пинбол: автомат не испытывает вибраций, и лишь один параметр обусловливает направление движения шарика — начальное местоположение поршня. Предположим, машина устроена так, что при незначительном смещении поршня шар всегда катится в правую лунку, а при большом — в левую. В промежуточном состоянии поведение системы становится сложным: шар довольно долго прыгает от одного амортизатора к другому, прежде чем угодить в ту или другую лунку.

Предположим, что мы строим график, отображающий зависимость результата от начального положения поршня. График представляет собой линию. Положение поршня, при котором шар попадает в правую лунку, обозначим красной точкой, в левую — зеленой. Что мы можем выяснить об этих аттракторах как функции начальной позиции?

Граница оказывается фрактальной системой, не обязательно внутренне подобной, но с бесчисленным количеством деталей. Некоторые участки линии будут сплошь красными или сплошь зелеными. Другие при увеличении обнаружат вкрапления красного внутри зеленого и наоборот. При каких-то положениях поршня небольшие сдвиги не имеют значения, однако есть и такие, при которых даже произвольно малое изменение смешает цвета.

Добавление второго измерения означает ввод второго параметра, второй степени свободы. Например, в случае с автоматом для игры в пинбол можно принять во внимание эффект от изменившегося угла наклона игрового поля. Здесь обнаружится своего рода «колебательная сложность» — сущее наказание для инженеров, которые отвечают за проверку устойчивости реальных систем, обладающих более чем одним параметром, в частности энергетических сетей и ядерных станций, в 80-х годах ставших объектами исследований вдохновленных хаосом ученых. При одном значении параметра A параметр B должен порождать упорядоченное поведение с последовательными участками стабильности. Инженеры могут проводить исследования и составлять графики того типа, какой предполагает их подготовка, ориентированная на линеаризацию результатов. И все же не исключено, что где-то поблизости прячется другое значение параметра A, существенно влияющее на параметр B.

Йорк демонстрировал на конференциях изображения границ фрактальных бассейнов. Некоторые из них описывали вынужденное поведение маятников, завершавшееся одним из двух конечных состояний. Как хорошо знали слушатели, такой маятник — весьма многоликий и хорошо известный в повседневной жизни осциллятор. «Никто не может утверждать, что я обманул систему, выбрав маятник, — с улыбкой говорил Йорк. — Подобные вещи мы наблюдаем в природе повсюду, однако их поведение в корне отличается от описанного в литературе. Это фрактальное поведение беспорядочного типа». Картины походили на фантастические водовороты белого и черного цветов, словно кухонный миксер остановился, не до конца смешав ваниль и шоколад для пудинга. Для создания подобных изображений компьютер просчитал решетку размером тысяча на тысячу точек, каждая из которых представляла конкретное начальное положение маятника, и графически отобразил результат, обозначив точки белым или черным цветом. На картине проявились бассейны притяжения, деформированные в соответствии с законами движения Ньютона, и обозначилась граница. Как правило, более трех четвертей всех показанных на экране точек находилось на пограничной черте.

Исследователям и инженерам эти изображения преподали хороший урок, послужив одновременно и предостережением, — слишком часто поведение сложных систем прогнозируют исходя из ограниченных данных. Наблюдая за системой, которая функционировала нормально, оставаясь в узких рамках нескольких параметров, инженеры надеялись экстраполировать результат более или менее линейным образом на необычное поведение. Но исследование границы фрактальных бассейнов продемонстрировали, что рубеж между состояниями покоя и возмущения куда сложнее, чем кто-либо мог себе представить. «Вся энергетическая сеть Восточного побережья является колебательной системой, по преимуществу стабильной. Нас интересует, что произойдет, если потревожить ее, — объяснял Йорк. — Необходимо знать, что представляет собой граница. Большинство даже не имеет понятия, как она выглядит».

Границы фрактальных бассейнов адресовали ученых к важнейшим дискуссионным вопросам теоретической физики. В этом смысле фазовые переходы являлись своего рода отправными пунктами. Пайтген с Рихтером рассмотрели одну из наиболее изученных разновидностей — намагничивание и размагничивание материалов. Полученные ими картины границ обнаруживали удивительнейшую сложность, начинавшую казаться вполне естественной. Изображение напоминало головки цветной капусты с причудливым рисунком выпуклостей и борозд. По мере изменения параметров и увеличения деталей очертания становились все более и более неупорядоченными, пока вдруг в глубине зоны возмущения не появилась знакомая, сплющенная у полюсов, форма, усеянная ростками: система Мандельбро, где каждый завиток и каждый атом располагались на своем месте. «Возможно, стоит поверить в магию», — писали ученые, осознав, что перед ними предстало очередное доказательство всеобщности.

Рис. 8.2. Границы фрактальных бассейнов. Даже когда долгосрочное поведение динамической системы не является хаотическим, хаос может появиться на границе двух типов устойчивого поведения. Зачастую динамическая система характеризуется более чем одним состоянием равновесия, как, например, маятник, который может остановиться, притянувшись к одному из двух магнитов, встроенных в его основание. Каждое состояние равновесия является аттрактором. Граница между двумя аттракторами может быть сложной, но спокойной (слева), или же сложной, но не плавной. В высшей степени фрактальная россыпь белых и черных фрагментов (справа) есть диаграмма маятника в фазовом пространстве. Система, несомненно, достигнет одного из возможных устойчивых состояний. Для некоторых начальных условий результат вполне предсказуем. Черное есть черное, а белое является белым. Но вблизи границы прогнозировать что-либо уже невозможно.