Омар Хайям - Шамиль Загитович Султанов

Историки пишут, что Малик-шах заботился о строгом порядке и дисциплине в войсках, а также о справедливости в администрации. Причем порой указывал Низаму аль-Мульку на то и другое. Хотя он и не был столь страстно предан военно-походной жизни, как его отец, но все же был талантливым военачальником.

Где б ни алел тюльпан и роза ни цвела,

Там прежде кровь царей земля в себя впила,

И где бы на земле ни выросла фиалка,

Знай — родинкой она красавицы была.

…Весна 1081 года. Армия Малик-шаха возвращается в Исфахан. На спине одного из боевых слонов закреплена походная палатка, в которой лежит больной султан. Рядом с ним — Омар Хайям, выполняющий обязанности походного врача.

— А ты, оказывается, искусный врачеватель. Сегодня я себя чувствую гораздо лучше. Вчерашняя гадость, которую ты заставил меня выпить, оказалась полезным лекарством. Где ты научился искусству лекаря?

— В основном по книгам Абу Али[23] в Нишапуре и позднее, в Самарканде, я несколько раз прочел и почти запомнил его «Канон врачебной науки».

— Послушай, а не мешают ли искусству врачевания твои занятия астрономией, математикой?

— Я не пойму тебя, о повелитель.

— Видишь ли, астрономы изучают движение звезд, планет — и это одно движение; математики занимаются измерением — и это одно измерение. Но каждый человек отличается от другого. Значит, отличаются и их болезни, и горести. Вчера ты готовил лекарство для меня или для некоего больного вообще?

— Для тебя, ибо истинное искусство врача заключается в том, чтобы в больном видеть того, кто ни на кого не похож. Трудно сравнить это с математикой, поскольку там мои измерения может в принципе повторить любой опытный математик.

— Омар, я вспоминаю, что несколько лет назад ты закончил какой-то математический трактат. И даже получил от меня какую-то награду, хотя я не очень-то понял, что ты там доказываешь. Продолжаешь ли ты этим заниматься и сейчас?

Дураки мудрецом почитают меня,

Видит Бог, я не тот, кем считают меня,

О себе и о мире я знаю не больше

Тех глупцов, что усердно читают меня.

В середине декабря 1077 года Омар Хайям закончил один из своих важнейших математических трудов — «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида».

«Комментарии» Хайяма разделены на три книги, или три части. Во введении он формулирует свою общую методологическую задачу: «Изучение наук и постижение с их помощью истинных доказательств необходимо для того, кто добивается спасения и вечного счастья. В особенности это относится к общим понятиям и законам, к которым прибегают для изучения загробной жизни, доказательства (существования) души и ее бессмертия, постижения качеств, необходимых для существования Всевышнего и Его величия, ангелов, порядка творения и доказательства пророчества Печати пророков[24], повелениям и запрещениям которого повинуются все творения в соответствии с соизволением Всевышнего Аллаха и силой человека». Таким образом, Омар Хайям, как действительный последователь Ибн Сины, утверждает, что рациональное, естественно-научное познание, рационалистическое мышление необходимы как при изучении мира и человека, так и для действительного понимания основных теологических и трансцендентальных постулатов ислама. Ведь разум человека, его рациональные способности (например, способности математика) также созданы и постоянно создаются Аллахом.

В первой книге «Комментариев» рассматривается теория параллельных. Хайям вообще не сомневается в истинности классического постулата Евклида, однако считает его менее очевидным, чем ряд других положений древнегреческого математика. Кроме того, Хайям отвергает некоторые, предложенные до него, варианты доказательств этого постулата.

Один из принципов Аристотеля Хайям принимает за исходный в собственной теории параллельных: «Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в направлении схождения». Каждое из двух утверждений, содержащихся в этом принципе, эквивалентно пятому постулату Евклида.

При помощи нового постулата Омар Хайям доказывает восемь теорем, последняя из которых по формулировке совпадает с пятым постулатом. Центральное место у Хайяма занимает исследование равнобедренного двупрямоугольника (четырехугольника с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами). Равнобедренный двупрямоугольник разделяется своей осью симметрии на два трипрямоугольника. Относительно двух других углов двупрямоугольника, равных между собой, Хайям сначала предполагает, что они острые, затем — что они тупые, и оба допущения приводит к противоречию при помощи своего принципа. После установления существования прямоугольника он довольно просто доказывает пятый постулат.

Работы восточных геометров по теории параллельных, растянувшиеся почти на пятьсот лет и тесно связанные между собой, оказали значительное воздействие на позднейшие математические исследования. Идеи Хайяма и ат-Туси стали известны в Европе только в XVII веке. Выявленная и обоснованная ими связь пятого постулата Евклида с проблемой суммы углов четырехугольника, или, что равносильно этому, с вопросом о сумме углов треугольника, стала основной в дальнейших работах. Гипотезы и представления мусульманских математиков о свойствах рассматривавшихся ими четырехугольников в случае острого и тупого угла стали своего рода первыми теоремами неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана (в первой из которых обосновывается гипотеза острого угла для этих четырехугольников, а во второй — гипотеза тупого угла). Работы Омара Хайяма стали одним из важных звеньев в цепи исследований, закончившихся созданием неевклидовой геометрии.

Вторая и третья книги «Комментариев к трудностям во введениях книги Евклида» посвящены теории отношений. Хайям подтверждает правильность знаменитого определения тождества двух отношений в пятой книге «Начал», в которой Евклид сравнивает произвольные равнократные первой и третьей и, соответственно, второй и четвертой величин, образующих пропорцию.

Это определение, однако, с его точки зрения, страдает существенным недостатком, ибо не выявляет «истинный смысл пропорции». Хайям считал, что определение Евклида не конкретизирует измерительных аспектов отношений, которые представляли практический интерес для математики исламского мира. Поэтому свою задачу он видел в формулировании такого определения равенства отношений, которое непосредственно отражало бы числовую функцию отношения. Хайям намеревался соединить общую теорию отношений пятой книги, пригодную и для непрерывных соизмеримых величин, и теорию отношений чисел седьмой книги. При этом Хайям пошел по новому и оригинальному пути: он доказывает эквивалентность евклидовых определений тождества и неравенства отношений с новыми.

В основе исходного определения Хайяма лежит процесс отыскания наибольшей общей меры и соответствующий алгоритм Евклида. Доказывая эквивалентность определений Евклида и собственного, Омар Хайям приходит к выводу о наличии существенного пробела в теории отношений — отсутствие общей теории о существовании четвертой пропорциональной к трем другим величинам, которую Евклид доказал в шестой книге только для частного случая отрезков. С точки зрения Хайяма, существует прямая связь этой теоремы