Революция в физике - Луи де Бройль

По существу мы попытаемся ввести в объяснение разложения света призмой идею фотонов. С этой точки зрения можно сказать, что призма разделяет фотоны на строго определенные цветовые группы: она выделяет из падающего пучка красные, желтые и синие фотоны. Но можно себе представить такой эксперимент, когда пучок настолько слаб, что фотоны попадают на призму поодиночке. Каждый фотон соответствует падающей волне, которая согласно предположению не монохроматическая. Поэтому падающему фотону нельзя приписать ни определенной частоты, ни согласно соотношению Эйнштейна определенной энергии. Падающий фотон обладает как бы несколькими возможными частотами, появляющимися в спектральном разложении соответствующей световой волны. Однако, пройдя сквозь призму, падающий фотон становится одним из фотонов монохроматических пучков, разделенных воздействием призмы. Теперь, следовательно, он обладает вполне определенной частотой.

Таким образом, призма оказывается инструментом, позволяющим измерить частоту (или энергию) фотонов: этот прибор как раз и извлекает из состояния, которое существовало до измерения, одну из содержащихся в нем возможностей. Теперь необходимо вычислить вероятность такого действия призмы на падающий фотон, чтобы он имел определенный цвет. Волновая теория немедленно дает количественный ответ на этот вопрос. Падающую волну можно представить в виде разложения Фурье, в котором каждая монохроматическая компонента обладает определенной амплитудой. Действие призмы заключается в разделении этих монохроматических компонент без изменения их амплитуды. Энергия же падающего на призму света на выходе разделяется между различными выходящими монохроматическими пучками пропорционально квадратам этих амплитуд, т е. интенсивностям различных компонент Фурье. Можно поэтому сказать: вероятность, что фотон, пройдя через призму, будет иметь определенную частоту, пропорциональна парциальной интенсивности, соответствующей этой частоте в разложении Фурье падающей световой волны. Это рассуждение, переведенное на язык волновой механики и соответствующим образом обобщенное, позволяет понять происхождение общей теории вероятностной трактовки квантовой механики.

Новая механика ставит в соответствие каждой механической величине некий оператор, который можно построить во всех случаях. Все операторы, о которых идет речь, относятся к классу линейных эрмитовских операторов. Математическая теория собственных значений позволяет поставить в соответствие этим операторам собственные значения и собственные функции. Поскольку эти операторы эрмитовские, собственные значения их будут действительными числами, образующими непрерывную, дискретную или смешанную последовательность, которая называется спектром этого оператора.

Собственные функции образуют, по крайней мере в общем случае, полный набор ортогональных функций, т е. какой бы ни была любая непрерывная функция, ее можно разложить в ряд по этим собственным функциям. С этими свойствами собственных функций и собственных значений мы уже встречались, когда говорили о собственных значениях и собственных функциях оператора Гамильтона в шредингеровском методе квантования. В этом методе предполагалось, что лишь некоторые, значения энергии квантованной системы являются собственными значениями оператора Гамильтона, который соответствует ее энергии. Обобщая эту идею, общая вероятностная теория волновой механики выдвигает следующий первый основной постулат, который можно назвать принципом квантования: точное измерение какой-либо механической величины может дать в качестве значения этой величины лишь одно из собственных значений соответствующего оператора.

В каждом случае этот постулат фиксирует возможные значения механической величины. Очевидно, его нужно дополнить вторым постулатом, говорящим о том, каковы вероятности измерения различных значений некоторых величин для частицы, начальное состояние которой до намерения известно, т е. какова вероятность получить возможные значения этих величин в результате измерения. В волновой механике начальное состояние частицы, известное до измерения, изображается определенной волновой функцией. Это и есть «КСИ»-волна, которая возмущается измерительным прибором. Аналогия с разложением спектра призмой подсказывает, каким должен быть второй постулат. Действительно, «КСИ»-волну можно разложить в ряд по собственным функциям, соответствующим измеряемой физической величине. Совершенно естественно предположить, что квадраты амплитуд компонент этого спектрального разложения служат мерой относительных вероятностей различных допустимых значений. Итак, можно сформулировать второй фундаментальный постулат, обобщенный принцип спектрального разложения: вероятности различных возможных значений некоторой механической величины, характеризующей частицу, волновая «КСИ»-функция которой известна, пропорциональны квадратам модуля амплитуд соответствующих компонент спектрального разложения «КСИ»-функции по собственным функциям рассматриваемой величины.

Совершенно очевидно, что метод спектрального разложения Борна, который применяется к квантованию специальной механической величины – энергии – есть частный случай этого второго принципа.

Гораздо менее очевидно, что уже упоминавшийся принцип интерференции – тоже частный случай этого принципа. Однако рассуждения, которые нельзя здесь приводить, показывают, что, применяя обобщенный принцип спектрального разложения к другой специальной механической величине – координате частицы, – мы получим принцип интерференции, Таким образом, оба принципа, которые мы ввели в одной из предыдущих глав для того, чтобы приступить к физической интерпретации волновой механики, оказываются частными случаями второго фундаментального постулата общей теории.

Два этих постулата, введенные в настоящем разделе, представляют, следовательно, достаточную основу для полной и ясной вероятностной интерпретации новой механики. Возникают, очевидно, еще мелкие дополнительные вопросы: чтобы получить значения вероятностей в абсолютной мере, необходимо нормировать собственные функции и «КСИ»-функцию; чтобы учесть вырожденные случаи, когда имеются многократные собственные значения, необходимо расширить формулировку второго принципа и т д. Однако это детали. Основы же теории сформулированы в логически удовлетворительной форме.

А теперь мы хотим предупредить возражение, которое может возникнуть у многих читателей при чтении этого раздела: не оказывается ли эта вероятностная интерпретация новой механики, хотя и очень красивая и очень ясная, несколько произвольной. Зачем нужны понятия, столь сложные и столь противоречащие привычным представлениям классической механики? Оказывается, что вероятностная интерпретация это единственная возможная на сегодняшний день. Это означает, что сегодня она одна позволяет объяснить в рамках волновой механики все квантовые явления, которые наблюдаются экспериментально. Ни одна из попыток, сделанных в любых других направлениях, не привела к успеху. Автору данной книги это известно лучше, чем кому-либо другому, ибо он сам предпринимал попытки такого рода, которые ему в конце концов пришлось оставить из-за возникших непреодолимых трудностей.

Итак, можно сказать, что введенные выше фундаментальные постулаты оправданы тем, что на их основе можно построить последовательную теорию, согласующуюся со всеми экспериментальными фактами, и невозможно построить никакой другой теории, обладающей такими же свойствами. Таково положение со всеми физическими теориями, ибо в основе любой физической теории лежат произвольные постулаты, и успех их в том именно и заключается, что их применение правильно описывает наблюдаемые явления.

Ниже мы строго установим глубокое различие между вероятностной интерпретацией новой механики и классическими теориями. Здесь же ограничимся указанием, что изученные в настоящем разделе принципы в более абстрактной и даже более общей форме под именем теории преобразований легли в основу работ Дирака и Иордана.

2. Соотношение неопределенностей

Физическая интерпретация новой механики ведет к очень интересным и важным следствиям, на которые впервые обратил внимание Гейзенберг, Математически они выражаются неравенствами, известными сегодня под названием соотношений неопределенности. Гейзенберг вывел эти неравенства из не коммутативности величин в своей новой квантовой механике. Чтобы пояснить их смысл, будем исходить из представления, которое дает нам волновая механика. Покажем, что эти соотношения – неизбежное следствие описанной физической интерпретации волновой механики, если предположить, что состояние частицы всегда изображается «КСИ»-волной.