Принцесса или тигр - Рэймонд Смаллиан

2. В системе Фергюссона при любом заданном числе n множество а3n+i представляет собой множество An*. Поэтому множество A301 — это есть множество A Воспользуемся теперь результатом предыдущей задачи, положив b равным 301. Тогда утверждение 301 Є А301 будет гёделевым утверждением для множества Аb. Вообще для любого числа n, выбрав d = 3n+1, мы получим, что утверждение b Є Ab, является гёделевым для множества Ab в системе Фергюссона.

3. Да. Предположим, что данная система является гёделевой и что условия G1 и G2 выполняются; предположим также, что система правильна. Согласно условию G1, множество R именуемо в этой системе; поэтому, согласно условию G1, именуемо также и множество Р — дополнение R. Тогда, поскольку исходная система гёделева, то существует гёделево утверждение X для Р. Это означает, что X истинно в том и только том случае, если гёделев номер утверждения X принадлежит Р. Однако если гёделев номер утверждения X принадлежит Р, то тем самым он не принадлежит R, а это значит, что утверждение X недоказуемо. Таким образом, гёделево утверждение для R — это ни больше ни меньше как утверждение, которое истинно в том и только том случае, если оно недоказуемо в (данной системе, а такое утверждение (как мы уже видели) как раз и должно быть истинным, но недоказуемым в этой системе (если система правильна).

Итак, фактически суть доказательства Гёделя состоит в построении гёделева утверждения для множества Р.

4. Очевидно, что всякое утверждение X является гёделевым утверждением для множества Т, потому что если X истинно, то его гёделев номер принадлежит Т, а если оно ложно, то его гёделев номер не принадлежит Т. (cследовательно, ни одно утверждение не может оказаться гёделевым для Т, потому что не может существовать ни истинного утверждения Х, гёделев номер которого принадлежал бы множеству Т, ни ложного утверждения X, гёделев номер которого не принадлежал бы множеству Т.

Читателю будет поучительно убедиться, что для любого множества чисел А и для любого утверждения X это X может являться гёделевым утверждением либо для А, либо для А, но никак не для обоих множеств сразу.

5. Рассмотрим сначала произвольную систему, удовлетворяющую условию G3. В соответствии с решением задачи 1 для любого множества, именуемого в рамках данной системы, существует гёделево утверждение. Кроме того, согласно решению задачи 4 не существует гёделева утверждения для множества Т. Следовательно, если система удовлетворяет условию G3, то множество Т не допускает имени в этой системе. Если система удовлетворяет к тому же условию G3, то множество Т не именуемо в этой системе — потому что ли бы это было так, то тогда, согласно условию G3, допускало бы имя и его дополнение Т, что на самом деле не имеет места. Это доказывает, что в системе, удовлетворяющей условиям G2 и G3, множество Т не именуемо.

Окончательно:

а) если выполняется условие G 3, то множество Т не именуемо в данной системе;

б) если выполняются условия G1 и G3, то ни множество Т, ни его дополнение Т в этой системе не именуемы.

6. Как только теорема Т доказана, теорему G можно получить следующим образом.

Предположим, что мы имеем правильную систему, удовлетворяющую условиям G1; G2 и G3 — Из условий G2 и G3, согласно теореме Т, следует, что множество Т не допускает имени в данной системе. Но, согласно условию G1, множество Р допускает имя в данной системе. Поэтому раз Р допускает имя в рамка системы, а Т нет, то, значит, это должны быть разные множества. Однако каждое число, принадлежащее множеству Р, входит также и в множество Т, поскольку нам дано, что система является правильной в том смысле, что каждое доказуемое утверждение в ней истинно. Стало быть, поскольку множество Т не совпадает с множеством Р, в множестве Т должно существовать хотя бы одно число n, которое не принадлежит Р. Вместе с тем, поскольку это n принадлежит Т, оно должно быть гёделевым номером некоего истинного утверждения X. Но поскольку это число n не принадлежит Р, то утверждение X должно быть недоказуемым в данной системе. Значит, утверждение X истинно, но недоказуемо в данной системе. Итак, теорема G действительно имеет место.

7. Пусть теперь нам даны условия G1 и G3.

а. Согласно условию G1, множество R именуемо в данной системе. Тогда, согласно условию G5, множество R* также допускает имя в рамках этой системы. Следовательно, существует такое число Н, при котором Ah = R*. Далее, по определению множества R* число х принадлежит R* в том и только том случае, если число х*х принадлежит множеству R. Поэтому для любого а это х принадлежит Ah в том и только том случае, если число х*х входит в множество R. В частности, если к качестве x выбратьh, то число h будет принадлежать, Ah, в том и только том случае, если число h*h входит в R. Далее, h принадлежит Ah в том и только том случае, если утверждение h Є Ah, истинно. С другой стороны, поскольку число h*h есть гёделев номер утверждения h Є Ah, то h*h входит в R в том и только в том случае, если утверждение h Є Ah опровержимо. Значит, утверждение h Є Ah истинно в том и только в том случае, если оно опровержимо. Отсюда следует, что данное утверждение либо истинно и опровержимо, либо ложно и неопровержимо. Однако оно не может быть истинным и опровержимым, поскольку наша система правильна по условию задачи; следовательно, оно должно быть ложным и неопровержимым. Наконец, раз это утверждение ложно, оно не может быть и доказуемым (опять же потому, что система правильна). Таким образом, утверждение h Є Ah, недоказуемо и неопровержимо (и, кроме того, оно ложно).

б. Пусть нам дано, что множество а10 — это К и что А5n при любом числе n совпадает с множеством An*. Значит, A50 есть множество R*. Тогда, согласно решению «а», если принять h = 50, то утверждение 50 Є A50 будет недоказуемым и неопровержимым. Кроме того, это утверждение будет ложным.

Машины, рассказывающие о себе

Рассмотрим теперь доказательство Гёделя с несколько иной точки зрения, которая позволяет увидеть основную идею особенно ярко.

Возьмем четыре символа Р, N, А, — , и рассмотрим всевозможные комбинации этих символов. Произвольную комбинацию указанных символов мы будем называть выражением. Например, выражением является комбинация Р-NA-Р; точно так же выражением будет комбинация — PN-А-Р-. Некоторым выражениям мы будем приписывать определенный смысл — такие выражения в дальнейшем будут называться утверждениями.

Предположим, что у нас имеется машина, которая может выдавать нам (распечатывать) одни выражения и не может выдавать другие. При этом те выражения, которые машина может напечатать, мы будем называть Допускающими распечатку. Предполагается, что любое выражение, которое может напечатать машина, рано или поздно обязательно будет ею напечатано. Если нам задано выражение X и мы хотим высказать суждение, что X допускает распечатку, то будем записывать это как Р-X. Так, например, запись Р-ANN означает, что выражение ANN допускает распечатку (при этом неважно, является ли это утверждение истинным или ложным). Если же мы хотим сказать, что выражение X не допускает распечатки, то будем писать NP-X. (Символ N — от англ. not — отрицание «не», а символ Р — от англ. printable — допускающий распечатку.) Таким образом, запись вида NP-X следует читать как «не допускающее распечатки X», или, что по существу то же самое, «выражение X не допускает распечатки».

Ассоциатом выражения X мы будем называть выражение X–X; при этом вместо слова «ассоциат» нами будет использоваться символ А (от англ. associate). Таким образом, если нам задано некоторое выражение X и мы хотим сказать, что ассоциат выражения X допускает распечатку, то будем записывать это как РА-X. Если мы теперь хотим сказать, что ассоциат утверждения X не допускает распечатки, то это будет записываться как NPA-X.

Читателя, быть может, удивляет, что мы используем тире в качестве своеобразного символа. В самом деле, почему, когда нам нужно высказать суждение о том, что выражение X допускает распечатку, вместо записи Р-X не писать просто РХ? Это делается для того, чтобы избежать определенной двусмысленности. В самом деле, что, например, может означать запись PAN, если мы откажемся от тире? Она может означать либо что ассоциат выражения N допускает распечатку, либо что допускает распечатку выражение AN. Если же мы пользуемся тире, то подобной двусмысленности не возникает. Так, если мы хотим сказать, что ассоциат выражения N допускает распечатку, то записываем этот факт как РА-N; если же хотим сказать, что допускает распечатку выражение AN, то пишем Р-AN. Предположим теперь, нам нужно сказать, что выражение — X допускает распечатку. Правильно ли будет записать эту фразу как Р-Х? Нет, ведь запись Р-X означает, что выражение X допускает распечатку. Поэтому чтобы сказать, что допускает распечатку выражение — X, нужно написать Р-X.

Рассмотрим еще несколько примеров: запись Р- означает, что «-» допускает распечатку, запись РА- означает, что выражение (ассоциат выражения-) допускает распечатку; запись Р- также означает, что «-» допускает распечатку; запись NРА-Р-А означает, что ассоциат выражения — Р-А не допускает распечатки, или, другими словами, что не допускает распечатки выражение — Р-А-Р-А. То же самое означает и запись вида NP-Р-А-Р-А.