Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

Декарту, философу глубокому и весьма авторитетному, мы обязаны тем, что начиная с XVII в. математика вышла на передний край науки, и это позволило человечеству открыть особенности многих явлений природы, которые, не будь математики, так и остались бы неизвестными.

Мы могли бы рассказать о многих конкретных математических достижениях Галилея, например о предложенном им математическом описании движения свободно падающего тела, но для нас наибольший интерес представляет его методология. Своей работой «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (1638) Галилей направил физическую науку по математическому пути, заложил основы современной механики и создал прообраз современной научной мысли. Как мы далее увидим, Ньютон, восприняв методологию Галилея, дал непревзойденные доказательства ее эффективности.

VI

Математика и загадка тяготения

Причину же этих свойств силы тяжести я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю… Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря.{5}

В 1642 г., в год смерти Галилея, на ферме близ небольшой английской деревушки, у одной незадолго до того овдовевшей женщины родился недоношенный ребенок. Несмотря на столь неблагоприятные обстоятельства рождения и здоровье, столь слабое, что мать всерьез опасалась за жизнь ребенка, Исаак Ньютон (1642-1727) дожил до восьмидесяти пяти лет и снискал славу одного из величайших представителей рода человеческого. Как мы увидим в дальнейшем, Ньютон в своей работе по существу следовал методологии Галилея, продолжая и развивая ее. Как заметил однажды Алфред Норт Уайтхед, «Галилей знаменует первый приступ, Ньютон — окончательную победу».

Если не считать ярко выраженного интереса к механическим устройствам, Ньютон не подавал особых надежд в юности. Поскольку он не проявлял никакого интереса к сельскому хозяйству, мать отправила его в Кембридж, и в 1661 г. он поступил в Тринити-колледж (колледж св. Троицы). Хотя пребывание в стенах прославленного колледжа давало его воспитанникам определенные преимущества, например возможность изучать труды Декарта, Коперника, Кеплера, Галилея или слушать лекции знаменитого математика Исаака Барроу, Ньютон, насколько можно судить, извлек немного пользы из учебы. Он был слаб в геометрии и даже подумывал заняться изучением права вместо натурфилософии. Четыре года обучения завершились столь же незаметно, как и начались.

В год, когда Ньютон окончил колледж в Лондоне, в его округе разразилась эпидемия чумы. Кембриджский университет был закрыт. Ньютону не оставалось ничего другого, как уединиться в тиши родительского дома в Вулсторпе, где он провел безвыездно 1665-1666 гг. В этот период он начал свои работы по механике, математике и оптике, завершившиеся триумфальным успехом. Ньютон осознал, что открытый им закон всемирного тяготения дает ключ ко всей механике; он разработал также общий метод решения задач математического анализа и, проведя серию экспериментов, совершил эпохальное открытие, установив, что белый солнечный свет включает в себя все цвета радуги от красного до фиолетового. Сам Ньютон-впоследствии так охарактеризовал этот период: «Я был в то время в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо после» ([20], с. 31-32).

В 1667 г. Ньютон возвратился в Кембридж, где был избран членом совета Тринити-колледжа. В 1669 г. Исаак Барроу оставил свой пост главы кафедры математики, целиком посвятив себя теологии, и Ньютон занял его место. Судя по всему, Ньютон не был хорошим преподавателем. Очень немногие студенты посещали его лекцйи, и никто не отмечал особой оригинальности в его преподавании.

В 1684 г. по настоянию своего друга Эдмонда Галлея (1656-1742), астронома, в честь которого названа комета (комета Галлея), Ньютон занялся подготовкой к публикации своей работы по тяготению. Галлей взял на себя редактирование первого издания и значительную часть издержек. В 1687 г. классическое произведение Ньютона «Математические начала натуральной философии» (часто называемое для краткости просто «Начала») вышло из печати.

После этой публикации имя Ньютона обрело широкую известность. При его жизни «Начала» выдержали три издания. Появились и популярные изложения этого труда. Популяризация и в самом деле была необходима, так как «Начала» весьма трудны для чтения и далеко не все в этом сочинении понятно непосвященному, хотя издатели неоднократно утверждали обратное. Почти сто лет понадобилось величайшим математикам, чтобы довести до полной ясности ньютоновские «Начала».

Ньютон воздавал должное своим предшественникам и не придавал полученным результатам особенно большого значения. На склоне лет он сказал своему племяннику:

Не знаю, кем я кажусь миру, но самого себя я вижу всего лишь мальчиком, играющим на берегу океана, который забавляется, подбирая то обкатанный камешек, то красивую раковину, в то время как необъятный океан истины простирается передо мною, уходя в неведомые дали.

Из великих свершений, достигнутых Ньютоном в молодые годы, для нас наибольший интерес представляют его философия науки и работа над законом всемирного тяготения. Философия Ньютона содержала в еще более явном виде ту программу физических исследований, начало которой было положено еще Галилеем: законы природы, описывающие наблюдаемые явления на точном языке математики, надлежит формулировать, согласуясь с воспроизводимыми и допускающими экспериментальную проверку явлениями. Из этих законов путем математических рассуждений следует выводить новые законы. Подобно Галилею, Ньютон хотел знать, по какому плану Создатель сотворил мир, но опасался, что за многочисленными явлениями не сможет различить четкий механизм.

В предисловии к первому изданию «Начал» Ньютон говорит следующее:

Так как древние, по словам Паппуса, придавали большое значение механике при изучении природы, то новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые свойства, стараются подчинить явления природы законам математики.

В этом сочинении имеется в виду тщательное развитие приложений математики к физике… поэтому и сочинение это нами предлагается как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первой и второй.

Математические начала были для Ньютона, как и для Галилея, началами количественными. Расположить все в ясном и четком порядке по «мере, числу и весу» — такую задачу ставил перед собой Ньютон в своем сочинении.

Если говорить об описании природы, то величайшей заслугой Ньютона с полным основанием можно считать открытие единых законов, — управляющих движениями тел на небе и на Земле. Галилей наблюдал небесные тела, как никто ранее, но его успехи в математическом описании природы ограничивались описанием движений, происходящих либо по поверхности Земли, либо вблизи нее. Еще при жизни Галилея его современник Кеплер вывел три знаменитых закона движения планет, упростив тем самым гелиоцентрическую теорию. Но две области физики — земная и небесная — казались совершенно независимыми. Найти какую-нибудь связь между земными и небесными явлениями — такая задача будоражила умы великих ученых. И величайший из них справился с этой задачей.

Были все основания считать, что какой-то принцип, общий для земных и небесных явлений, все же существует. Согласно первому закону движения Галилея, о котором Ньютон мог узнать из сочинений Декарта или самого Галилея, чьи труды Ньютон оценивал высоко, тела должны двигаться равномерно и прямолинейно до тех пор, пока их движение не нарушали приложенные извне силы. Следовательно, планеты, однажды приведенные каким-то образом в движение, должны далее двигаться равномерно и прямолинейно, между тем как, согласно законам Кеплера, они обращаются вокруг Солнца по эллипсам. Значит, должна существовать какая-то сила, вынуждающая планеты постоянно отклоняться от прямолинейной траектории, подобно тому как груз, раскачивающийся на конце нити, не улетает по прямой, поскольку рука, держащая другой конец нити, притягивает его. Естественно допустить, что на планеты действует сила притяжения со стороны Солнца. Во времена Ньютона физикам было известно также, что Земля притягивает находящиеся на ней тела. А так как и Земля, и Солнце притягивают тела, была выдвинута и широко обсуждалась еще во времена Декарта идея объединить оба вида притяжения в рамках одной теории.