Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

К этим трем законам Ньютон добавил закон всемирного тяготения (1). Применительно к движениям планет этот закон был открыт Робертом Гуком, но Ньютон обобщил его и возвел в ранг универсального закона, применимого ко всем телам во Вселенной.

Получив некоторые подтверждения справедливости закона всемирного тяготения, Ньютон показал далее, что этот закон применим к движениям на поверхности Земли или вблизи нее. И здесь ему помогли труды Галилея. Перейдем на язык формул. Пусть M — масса Земли, m — масса тела, находящегося вблизи земной поверхности. Записав формулу (1) в виде F = kMm/r2 и разделив обе части на m, получим

F/m = kM/r2. (2)

Независимо от того, какое тело вблизи поверхности Земли мы рассматриваем, величины, входящие в правую часть формулы (2), остаются неизменными, так как r — радиус Земли (~6400 км), M — масса Земли, а постоянная k одинакова для всех тел.

Но второй закон Ньютона утверждает, что любая сила, действующая на тело массой m, сообщает этому телу ускорение. В частности, сила притяжения Земли, действующая на тело, также сообщает ему ускорение. Из второго закона Ньютона следует, что любая сила F связана с вызванным ею ускорением соотношением F = ma, или

F/m = a. (3)

Следовательно, если сила F в формуле (2) есть сила земного тяготения, то правые части формул (2) и (3) можно приравнять, так как левые части равны. В результате получаем

а = kM/r2.

Это соотношение означает, что ускорение, сообщаемое телу силой земного тяготения, всегда равно kM/r2. Поскольку k — постоянная, M — масса Земли, r — расстояние от тела до центра Земли, величина kM/r2 одинакова для всех тел, находящихся вблизи поверхности Земли. Следовательно, все тела вблизи поверхности Земли падают с одинаковым ускорением. Именно к такому выводу пришел на основании своих опытов Галилей. Более того, опираясь на этот результат, Галилей математически доказал, что все тела, падающие с одинаковой высоты, достигают поверхности Земли за одно и то же время. Ускорение свободного падения, которое принято обозначать буквой g, легко измерить: оно равно 9,8 м/с2.

Несколько уклоняясь от нашей главной темы, заметим, что, согласно третьему закону Ньютона, для каждой силы (действия) всегда существует равная по величине и противоположно, направленная сила (противодействие). Следовательно, если Солнце действует на Землю с силой, удерживающей нашу планету на ее околосолнечной орбите, то Земля в свою очередь должна действовать на Солнце с равной по величине и противоположной по направлению силой. Значит, Солнце под действием этой силы должно двигаться, между тем оно покоится! Разгадку этого «парадоксу» дают несложные вычисления, подобные проделанным Ньютоном. Если m — масса Земли, M — масса Солнца, то сила взаимного притяжения между ними равна

F = kMm/r2.

Земля притягивает Солнце с силой

F = Ma.

Сравнивая эти две формулы, получаем

F/M = km/r2 и F/M = a.

Следовательно, ускорение, сообщаемое Землей любому телу, равно

a = km/r2,

где m — масса Земли, r — расстояние от центра Земли до тела. Так как масса Земли, гораздо меньше массы Солнца, ускорение, сообщаемое Землей Солнцу, во много раз меньше ускорения, сообщаемого Солнцем Земле. Под воздействием притяжения со стороны Земли и других планет Солнце приходит в движение, но последнее столь слабо, что им можно пренебречь. Из приведенных расчетов следует еще один вывод. Согласно третьему закону Ньютона, Земля притягивает нас с такой же силой, с какой мы притягиваем ее. Но мы падаем на Землю, тогда как «падение» Земли на нас пренебрежимо мало.

Таким образом, вклад Ньютона в теорию тяготения по существу сводится к следующему. Исследуя движение Луны, он пришел к правильной формулировке закона всемирного тяготения. Затем Ньютон показал, что этот закон вкупе с двумя первыми законами движения достаточен для описания движения тел на поверхности Земли. Тем самым Ньютону удалось достичь одной из главных целей программы Галилея, ибо он показал, что законы движения и закон всемирного тяготения принадлежат к числу фундаментальных принципов. Подобно аксиомам Евклида, эти законы служат логической основой для получения других физически значимых законов. Можно представить, каким триумфом явился вывод законов движения небесных тел.

Этот триумф также связан с именем Ньютона. Построив цепочку безукоризненных дедуктивных умозаключений, он показал, что все три закона движения планет, полученные Кеплером, следуют из двух первых законов движения и закона всемирного тяготения.

Из этих законов вытекает важное следствие, которое о многом должно говорить читателю, пытающемуся найти рациональное объяснение эффективности математического метода в познании. Основная ценность законов Ньютона заключается в том, что они, как мы только что видели, применимы к множеству самых разнообразных как небесных, так и земных явлений. Одни и те же количественные соотношения воплощают в себе общие, универсальные характеристики. Следовательно, знание этих формул действительно можно рассматривать как знание описываемых ими явлений.

Работы Галилея и Ньютона ознаменовали начало научной программы физических исследований. Сам Ньютон в предисловии к первому изданию «Математических начал натуральной философии», классическому научному труду, охватившему все, что было сделано Ньютоном в его молодые годы, сформулировал эту программу следующим образом:

Поэтому и сочинение это предлагается нами как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первой и второй. В третьей же книге мы даем пример вышеупомянутого приложения, объясняя систему мира, ибо здесь из небесных явлений при помощи предложений, доказанных в предыдущих книгах, математически выводятся силы тяготения тел к Солнцу и отдельным планетам. Затем по этим силам также при помощи математических предложений выводятся движения планет, комет, Луны и моря. Было бы желательно вывести из начал механики и остальные явления природы, рассуждая подобным же образом, ибо многое заставляет меня предполагать, что все эти явления обусловливаются некоторыми силами, с которыми частицы тел вследствие причин покуда неизвестных или стремятся друг к другу и сцепляются в правильные фигуры, или же взаимно отталкиваются и удаляются друг от друга.

С неуклонностью камня, скатывающегося с крутого склона, Ньютон подводил все новые обоснования под математические начала физики и выводил из них следствия. Рассуждая примерно так же, как было описано нами выше, он вычислил массу Солнца и мог вычислять массу любой планеты с ее спутниками. Применив понятие центробежной силы к суточному вращению Земли вокруг собственной оси, Ньютон оценил величину экваториального «выпучивания» Земли и обусловленное им изменение веса тела при перемещении из одной точки земной поверхности в другую. По известным из наблюдений отклонениям формы некоторых планет от сферической Ньютон определил периоды их вращения вокруг собственных осей. Он показал, что морские приливы связаны с гравитационным притяжением Земли Солнцем и Луной.

Однако ряд отклонений в движениях планет ему объяснить так и не удалось. Например, хотя Луна постоянно обращена к Земле одной и той же стороной, периодически становятся видимыми то большие, то меньшие области ее обратной стороны, примыкающие к краю видимого диска. Благодаря возросшей точности наблюдений удалось обнаружить, что продолжительность среднего лунного месяца увеличивается примерно на одну тридцатую секунды за столетие. (Точности такого порядка стремились достигнуть и в наблюдениях, и в теории.) Были замечены и небольшие изменения в эксцентриситетах планетных орбит.

Ньютон хорошо знал о многих из этих отклонений и в своих исследованиях не обошел вниманием теорию движения Луны. Во времена Ньютона положение Луны, наблюдаемое с борта находящегося в открытом море судна, служило для определения долготы. (Морской хронометр, позволяющий точно отсчитывать время при сильном волнении моря, тогда еще не был изобретен.) В своих занятиях лунной астрономией Ньютон не упускал из виду и ее практическое приложение. Луна движется по эллиптической орбите так, что в чем-то напоминает нетрезвого человека, тщетно пытающегося идти прямо: она то ускоряет, то замедляет свой ход и раскачивается из стороны в сторону. Ньютон был убежден, что некоторые из особенностей поведения нашего естественного спутника обусловлены действием на Луну сил притяжения со стороны Солнца и Земли, которые и вызывают ее отклонение от движения по идеальной эллиптической орбите. В своих «Началах» Ньютон показал, что некоторые из неравномерностей в движениях Луны действительно объяснимы в рамках законов его механики и закона всемирного тяготения.