Вся физика в 15 уравнениях - Бруно Мансулье

Казалось бы, нет ничего проще. Однако мне это запомнилось как одно из самых первых откровений научного мышления. Действительно, есть два способа увидеть мир. В первом «я смотрю» и «я вижу» предметы и их отражения, никак не интересуясь природой этого видения. В другой парадигме восприятия источник света, лампа, солнце испускают световые лучи. Они отражаются, преломляются, рассеиваются предметами, затем попадают в мои глаза, и только тогда я их вижу.

Физика освещения

Итак, давайте «делать физику». Это значит оставлять наивную интуицию в стороне, судить обо всем на основании фактов, вносить новые смыслы в мир. И желательно делать это так, чтобы новые интерпретации известных фактов были понятны для всех. Отставляя в сторону свое «я», несложно сформулировать законы, выразив их формулами. Теперь мы можем вычислять и предсказывать. Каждый источник света излучает лучи, которые отражаются, преломляются, рассеиваются на объектах одинаково для всех. Законы отражения и преломления света возвестили век «просветления» и новую эру формул в физике.

Глава 2

Закон Снелла-Декарта и… принцип наименьшего действия

n2sinθr = n1sinθi

Следом за отражением света логично рассмотреть закон преломления, определяющий траекторию луча света, переходящего без отражения из одной прозрачной среды в другую. Можно привести множество примеров, в которых будут наблюдаться эффекты вышеуказанного закона. Чаще всего мы на них просто не обращаем внимания. Возможно, особо наблюдательные люди замечают странный эффект, как шест, опущенный на дно прозрачного бассейна, кажется сломанным на уровне поверхности, на границе между воздухом и водой…

В области распространения света непосредственное применение данного уравнения неисчислимо, поскольку оно господствует над всеми оптическими системами. Но в этой главе мы увидим, что простой закон, сформулированный для конкретного (частного) случая, станет источником понимания нового общего и мощного физического постулата — принципа наименьшего действия.

Уравнение постулирует, что угол выхода луча из границы раздела отличается от угла входа, что создает иллюзию сломанной палки. Вам, наверное, известно математическое выражение sin. Это функция синуса, которую можно вычислить нажатием кнопки любого научного карманного калькулятора. Исторически потребовалось некоторое время, чтобы понять, что в формуле закона преломления используется именно эта функция, а не значение самого угла, например. Однако как только о данном законе заговорили многие, это простое уравнение сразу же нашло широкое практическое применение.

n2sinθr = n1sinθi

Эксперимент

Вооружившись приведенным выше уравнением, можно произвести простейшие эксперименты по рефракции, используя различные пары прозрачных сред: воздух/вода, воздух/ масло, вода/масло и т. д. Мы обнаружим, что параметры n1 и n2 в уравнении характеризуют определенную среду: n1 — для воздуха; n2 — для воды; n3 — для масла. Указанный параметр называется показателем преломления среды. Как только мы определим эти коэффициенты, мы сможем предсказать «излом» траектории луча света на границе раздела для любой пары сред и использовать это предсказание для построения любой оптической системы, какую только захотим.

Практическое применение закона преломления разнообразно. Во-первых, при помощи его мы можем понять те или иные природные явления, такие как радуга или функционирование глаза. Но самое главное — знание этого закона просто необходимо для создания оптических инструментов, начиная от увеличительного стекла и заканчивая микроскопом, и, разумеется, очков. Ведь все эти устройства разработаны на основе данного уравнения.

Чей это закон?

На этом историю про уравнения можно было бы закончить или, скорее, ограничиться рассказом о развитии оптики: микроскопов, астрономических телескопов, объективов для фототехники и т. д.; все это грандиозные практические достижения! Но следствием всего сказанного явилось еще более значительное событие: из уравнения преломления света возникла совершенно новая физическая идея, абстрактная и чрезвычайно важная для современной теоретической физики.

Сам закон впервые математически был четко сформулирован около 1620–1630 гг. Снеллом Ван Ройеном и Рене Декартом. Вопрос о том, кто был первым, — лишь один из многих бесполезных споров между англичанами и французами, поскольку в действительности разработка этого закона растянулась на несколько столетий. Она началась еще в X в. в арабском мире. Позднее свою лепту в его совершенствование внесли некоторые великие умы, в числе которых был Иоганн Кеплер.

Когда свет не теряет времени

Общая физическая идея, о которой я говорил выше, была открыта Пьером де Ферма около 1660 г. Он обнаружил, что может вывести «закон Декарта» (он тогда не знал о Снелле…), если исходить из двух очень простых предположений: во-первых, скорость света зависит от среды, в которой он распространяется, и, во-вторых, свет распространяется по такой траектории, что время движения из одной точки в другую оказывается минимальным. В этих предположениях величины n1 и n2 интерпретируются как обратные скорости света для каждой из сред.

Вы должны себе представить, что в середине XVII в. значение скорости света было еще неизвестно, а некоторые даже утверждали, что свет распространяется мгновенно. Конечно, Ферма не имел абсолютно никакого способа измерить эту скорость в разных средах: чтобы пройти 1 м в вакууме, свету требуется всего 3 миллиардных доли секунды, а в воде — в 1,4 раза больше, т. е. 4,2 миллиардных доли секунды. Эти длительности были слишком малы, чтобы их можно было измерить в то время[2]. Тем не менее Ферма не только сформулировал принцип минимального времени, но и показал, что он работает, если скорость света в воде или стекле меньше, чем в воздухе, в 1,2–1,5 раза. По иронии судьбы, Ферма таким образом противостоял Декарту, который считал, что скорость света выше, если среда плотнее. Но принцип сработал великолепно, подтвердив гипотезу Ферма.

Первоначально принцип Ферма был рожден интуицией или ясновидением: «природа всегда действует кратчайшим или наиболее простым путем». Эта идея (точнее такой способ получения физического закона) оказалась чрезвычайно плодотворной: вместо того чтобы писать уравнение, связывающее два угла, или уравнение движения, формулируется общий принцип, гласящий, что луч света выбирает путь минимальной длительности[3].

Принцип наименьшего действия

Принцип «природа не делает ничего лишнего» был применен для решения некоторых задач механики Пьером Луи Моро де Мопертюи в XVIII в., а именно к движению материальных объектов под действием внешних сил, и был назван «принципом наименьшего действия». Несколько позднее этот принцип был дополнительно формализован Леонардом Эйлером и, главным образом, Жозефом Луи Лагранжем, все еще в приложении к задачам теоретической механики. Было математически определено понятие «действие»: это интеграл от энергии системы за время ее эволюции. Движение тел по траекториям наименьшего действия занимает наименьшее время,