Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике. - Gustavo Pineiro

Георг Кантор, 1883 год

Кризис, вызванный парадоксом Рассела, вышел за границы теории множеств: ученые поставили под вопрос все свои рассуждения и даже стали спрашивать себя, что же на самом деле изучает математика. Этот глубокий кризис известен сегодня под названием «кризиса оснований». Он вызвал множество споров, иногда очень горячих, продлившихся почти 30 лет.

В начале XX века многие математики были уверены, что для решения проблемы парадоксов теории множеств достаточно добиться верной формулировки ее аксиом. Первый шаг в этом направлении сделал немецкий математик Эрнст Цермело (1871-1953). В 1919 году немецкий математик Абрахам Френкель (1891-1965) усовершенствовал систему аксиом Цермело, добавив к ней неучтенные прежде необходимые аксиомы. Сегодня она называется системой Цермело — Френкеля, а в специальной литературе по теории множеств обозначается аббревиатурой ZF. Эти аксиомы составляют стандартные формулировки теории множеств и позволяют решить все известные парадоксы. Слово «известные» было добавлено чешским математиком Куртом Гёделем (1906-1978), который доказал, что не существует безошибочного способа гарантировать, что система аксиом не содержит парадоксов. Таким образом, хотя в глубине души математики убеждены, что ZF не приведет к логическим противоречиям (и действительно, с 1919 года они не были выявлены), не существует математически точного доказательства того, что они никогда не возникнут.

Каждая сторона этого памятника в Галльском университете посвящена профессору, работавшему здесь. Сторона слева — Виктору Клемпереру (1881-1960), профессору философии, сторона справа — Кантору.

Сторона памятника, посвященная Кантору. Под изображением ученого высечено равенство x = X02 . а внизу — фраза из его работы 1883 года: «Сущность математики состоит в ее свободе».

Перечислим аксиомы Цермело — Френкеля.

1. Два множества равны, если в них одинаковое количество членов.

2. Существует пустое множество.

3. Если даны х и y, всегда существует пара, состоящая из них обоих.

4. Объединение двух или больше множеств также является множеством.

5. Существует по крайней мере одно бесконечное множество.

6. Только свойства, которые можно выразить исходя из остальных аксиом, могут быть использованы для определения множества.

7. Если дано произвольное множество, всегда существует множество, образованное его частями (см. главу 5).

8. Если дана семья — конечная или бесконечная — непустых множеств (то есть каждое из них содержит как минимум один член), всегда существует множество, которое содержит по члену из каждого множества этой семьи (см. рисунок на следующей странице).

9. Ни одно множество не является членом самого себя.

Аксиома 9 подразумевает, что универсального множества не существует, потому что оно содержало бы само себя, а аксиома это запрещает. Действительно, если записать аксиомы подходящим символическим языком, то можно доказать, что, исходя из аксиомы 6, универсальное множество даже не может быть определено. Парадокс Кантора возникает, когда речь заходит именно о мощности универсального множества. Но если его не существует, то нет и парадокса.

Парадокс Рассела связан с множеством F, образованным всеми множествами, которые не являются членами самих себя. Но аксиома 9 гласит, что все множества соблюдают условие, определяющее F; следовательно, F будет множеством всех множеств. Но поскольку оно и само является множеством, по аксиоме 9, то не может существовать (на самом деле, как и в случае с универсальным множеством, можно доказать, что даже нельзя определить теоретически). А раз оно не существует, то не будет и парадокса Рассела.

Парадокс Бурали-Форти решается аналогичным способом — через доказательство того, что множества всех ординальных чисел не существует.

Схема, объясняющая аксиому выбора. От каждого множества выбирается по члену и из них формируется новое множество.

Несмотря на успех ZF, в XX веке были предложены и другие системы аксиом для теории множеств. Обычно они обозначаются инициалами ученого, который сформулировал их первым. Так, существует система NBG (Джона фон Неймана, Пола Бернайса и Курта Гёделя) и система МК (Роберта Ли Морза и Джона Лероя Келли). Эти системы не равнозначны. Это не просто разные формулировки одной и той же идеи — различия лежат в самих их основаниях. В частности, не все системы предлагают одно и то же решение парадоксов. Самой популярной система ZF стала отчасти потому, что она же и самая простая, но и у других есть свои сторонники. Прочие системы сводятся к тому, что множеств, которые Кантор называл «недоступными», не существует, как в ZF, либо, как в NBG и МК, существование «недоступных» множеств допускается, но провозглашается, что они подчиняются правилам, отличным от других множеств.

Таким образом, современная теория множеств возвращается к идее Кантора о том, что решение парадоксов должно опираться на различие между «доступными» и «недоступными» множествами. Но значит ли все это, что существует несколько разных теорий множеств? И существуют ли недоступные множества? На эти вопросы пока нет ответов, которые бы удовлетворили всех математиков. Обобщая, можно выделить два подхода к их решению: платонизм и формализм.

Платонизм — это течение, согласно которому математические объекты действительно существуют вне зависимости от человеческого разума, и сущность работы математиков состоит в том, чтобы открыть характеристики этих объектов. Согласно данному подходу, есть одна верная теория множеств. Тот факт, что на сегодняшний день существует несколько систем аксиом, говорит о том, что математики пока не смогли определить, какая из них является верной. Платоники считают, что как только будет определена настоящая теория множеств, то, что она будет говорить о недоступных множествах, и станет правдой.

Формалисты, напротив, полагают, что математика — плод человеческой мысли и во многом похожа на музыку или литературу. Согласно этой точке зрения, математика, в сущности,— это «языковая игра», в которой есть твердые основы, аксиомы и такие же четкие логические правила, позволяющие, опираясь на них, приходить к неким выводам. Работа математика состоит в том, чтобы понять, куда нас ведут правила игры. Она не отличается от того, что делает шахматист, когда ищет удачный ход, находясь на определенной клетке доски.

В рамках формализма вопрос о существовании «недоступных» множеств лишен смысла: по правилам одних систем они существуют, по правилам других — нет; это все, что можно сказать по данной теме. В обоих подходах есть свои нюансы, сильные и слабые стороны, и оба используются сегодня математиками. Спор между платонистами и формалистами — следствие кризиса оснований. Кантор не дожил до него, но если бы он знал об этой дискуссии, чью сторону принял бы? Он полагал, что математики абсолютно свободны в определении понятий и в расстановке приоритетов — с одним лишь условием: в результате не возникает логических противоречий. Такой подход приближал его к формализму. Однако в то же время в некоторых работах он как будто отстаивал мнение о том, что понятия, определенные математиками, имеют собственное объективное существование в разуме Бога. Это сближает его с платонизмом.

Противостояние платонизма и формализма также связано с решением проблемы континуум-гипотезы. Напомним, что она была сформулирована Кантором и утверждает, что 2X0 = X1.

В 1940 году Курт Гедель доказал, что в рамках любой из обычно используемых систем аксиом для теории множеств невозможно доказать ложность этого равенства. А в 1963 году американский математик Пол Коэн (1934-2007) доказал, в свою очередь, что невозможно доказать и то, что оно верное. Таким образом, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута ни одной из использующихся сейчас систем аксиом. Так верная она или ложная? Для формалистов этот вопрос не имеет смысла: аксиомы — всего лишь правила игры, установленные произвольно, они не описывают никакую внешнюю «истину».

Согласно этой точке зрения, к любой теории множеств можно добавить новую аксиому, которая позволит или подтвердить, или опровергнуть континуум-гипотезу. Платоники же считают, что вне зависимости от наших аксиом равенство 2X0 = X1 является либо объективно верным, либо ложным, и рано или поздно будет найдена такая система аксиом, которая решит этот вопрос однозначно. Таким образом, в рамках формализма этот вопрос закрыт, в рамках платонизма — остается открытым.

В 1935 году впервые собрался Николя Бурбаки. Эта фраза кажется странной, но в действительности Николя Бурбаки — не человек, а коллективный псевдоним, который взяла себе группа преимущественно французских математиков. Целью первой встречи группы было установление способов достижения назначенной цели (над которыми Бурбаки работает и сейчас, хотя члены группы, разумеется, сменились).