Природа описывается формулами. Галилей. Научный метод. - Roger Orrit

Приложение

Галилей предвидел, что в результате эксперимента, подобного тому, что проделали американские космонавты с молотком и пером, оба предмета упадут на поверхность одновременно. Его опыты с наклонной плоскостью во время изучения свободного падения показали, что скорость, развиваемая шарами, зависит только от высоты плоскости, а не от их веса. Таким образом, ученый обосновал свои заключения эмпирическими данными, но не стал объяснять причины этого явления (он систематически воздерживался от безосновательных измышлений), поскольку недостаточно разработал математические методы, способные доказать независимость массы от скорости падения тел.

Исходя из принципов Ньютона возможно математически показать, что скорость, приобретаемая телом во время свободного падения, зависит исключительно от силы притяжения, а не от массы. К тому же, зная радиус и массу планет и спутников, мы можем рассчитать значение ускорения свободного падения на их поверхности.

По Ньютону, между любыми массами возникает притяжение. При помощи своего закона всемирного тяготения он рассчитал эту силу и установил, что она прямо пропорциональна массе двух тел (m1 и m2) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между этими телами (d). В соответствии с этим, закон всемирного тяготения выглядит так:

F=G·(m1-m2)/d²

где G — гравитационная постоянная, равная 6,67·10-11 Н·м²/кг².

Вместо взаимодействия двух масс представим себе единое тело, которое ни с чем не взаимодействует. В этом случае, хотя оно и не действует непосредственно ни на какое другое тело, предполагается, что вокруг него создается некое поле, так, что как только другое тело приблизится к этому полю, то сразу же попадет под его влияние. Это гравитационное поле можно изобразить в виде линий, направленных в центр притяжения, то есть к телу (рис. 1).

РИС. 1

РИС. 2

Значение гравитационного поля можно рассчитать по следующей формуле:

g=G·m1/d² [1]

По этому уравнению мы видим, какое влияние будет оказано на любую массу m2, которая находится на некотором расстоянии от первого тела. Для этого надо будет просто вычислить F=m2g.

Изучив уравнение гравитационного поля, мы увидим, что при увеличении расстояния от центра массы, создающей это поле, уменьшается его интенсивность. Уменьшение силы тяготения в зависимости от высоты можно изобразить в виде графика (рис. 2).

Если в формулу [1] мы подставим массу Земли, а в качестве расстояния возьмем средний радиус Земли:

— масса Земли: М3 = 5,9736·1024 кг;

— радиус Земли: d = 6371 км = 6,371·106 м; то получим следующий результат:

g=G·M2/d2 = 6,67·10-11 Η·м2/кг2·(5,9736·1024 кг)/(6,371-106)2 м2 =9,81 м/с2. 

Таким образом, на уровне моря все тела имеют одинаковое ускорение (9,81 м/с2).

С помощью этой же формулы можно вычислить интенсивность гравитационного поля на вершине горы или показать, как уменьшается его значение в зависимости от высоты. Эти расчеты можно произвести и применительно к Луне:

— масса Луны: Мл = 7,349·1022 кг;

— радиус Луны: 1,738 106 м;

g=G·Мл/d2 = 6,67·10-11 Η·м2/кг2·7,349·1022 кг/(1,738- 106)2м2 =1,62 м/с2.

Так мы можем получить значение ускорения на Земле и на Луне. Зная радиус и массу любой планеты или спутника, можно вычислить ускорение свободного падения. Чем крупнее и плотнее планета, тем больше будет значение, определяющее ускорение, с которым будут падать на ней тела. Гравитационное поле также определяет, какую скорость должно развить тело, чтобы освободиться от его влияния и удалиться от планеты или спутника.

По законам кинематики положение и скорость тел при свободном падении вычисляются исходя из их массы. Рассчитывая скорость тела во время свободного падения при помощи понятий кинетической энергии (Ec, связанной со скоростью) и потенциальной энергии (Ep, связанной с весом), можно еще раз убедиться, что эта скорость зависит не от массы тела, а только от высоты, на которой оно находится:

Ec = ½mv2

Ep = m·g·h.

Когда мы держим шар на определенной высоте от поверхности, он обладает потенциальной энергией, которая при его падении переходит в кинетическую. Таким образом, для того чтобы узнать, какова будет скорость тела в момент, когда оно коснется земли (то есть когда вся его потенциальная энергия перейдет в кинетическую), нужно использовать формулу:

m·g·h = ½mv2

В результате скорость будет равна:

v = SQRT(2·g·h)

Итак, мы видим, что конечная скорость, с которой двигается тело, не зависит от его массы.

Если нам надо рассчитать скорость убегания, то есть скорость, которую должна развить ракета или любое другое тело для того, чтобы преодолеть силу притяжения планеты, можно воспользоваться следующим уравнением. Вначале запишем, чему равна потенциальная энергия гравитации:

En = G(Mз·m)/d

Mз обозначает массу Земли, но в это уравнение можно подставить массу любой другой планеты или спутника. Кинетическая энергия равна:

Ek = ½mv2

Скорость ракеты должна быть достаточной для того, чтобы ее кинетическая энергия стала равной или большей потенциальной энергии планеты:

½mv2 = G(Mз·m)/d

Следовательно, скорость убегания равна:

v = SQRT((2·G·Mз)/d)

Мы снова видим, что эта скорость не зависит от массы тела и всегда одинакова (хотя, если тело будет более тяжелым, ему потребуется больше энергии, чтобы развить такую скорость).

Атмосфера Земли — причина сопротивления, которое испытывают тела при падении, именно из-за нее они двигаются с разной скоростью. Из двух шаров, сделанных из одинакового материала, более тяжелый упадет быстрее, и только в вакууме они упадут одновременно, как предсказывал Галилей.

Сопротивление воздуха действует как сила, направленная против движения тела. В случае свободного падения его действие направлено противоположно силе притяжения. Это же сопротивление объясняет, почему летают и остаются в воздухе самолеты (хотя, как мы увидим ниже, крылья самолетов используют другие свойства и аэродинамические принципы). Его можно сравнить с сопротивлением поверхности, когда мы пытаемся сдвинуть очень тяжелый предмет.

Воздух, являясь газом, состоит из молекул воды, кислорода, азота и диоксида углерода. Чтобы тело упало, эти молекулы должны сместиться. Чем больше будет падающее тело и чем меньше при этом будет его вес, тем медленнее молекулы будут смещаться, чтобы пропустить его, и, следовательно, тем медленнее будет его падение.

Форма и фронтальная поверхность падающего тела также влияют на скорость, которую оно разовьет. Если мы возьмем лист бумаги, то и его вес, и его поверхность будут способствовать тому, что он будет снижаться медленнее, тогда как стальной шар упадет очень быстро. На планетах или таких спутниках, как Луна, где нет молекул, препятствующих падению тел, их форма и вес не являются определяющими факторами.

При рассмотрении предметов, падающих с небольшого расстояния, влиянием сопротивления воздуха обычно можно пренебречь, то есть учитывать его при расчетах не обязательно. Напротив, при значительной высоте необходимо учесть влияние аэродинамического сопротивления.

Трение — это сила, противонаправленная силе притяжения. Когда скорость падающего тела невысока (например, при малой высоте), то сила трения пропорциональна скорости. При большей скорости увеличится и сопротивление воздуха, и это соотношение будет прямо пропорциональным.

В случае тел, развивающих большие скорости, сопротивление увеличивается на величину, пропорциональную квадрату этой скорости. Это увеличение вызвано тем, что при большой скорости образуются воздушные завихрения, которые усиливают действие сопротивления.

Это явление необходимо принимать во внимание при конструировании автомобилей, так как сопротивление воздуха в этом случае является важнейшим фактором (поэтому на стадии проектирования ставится множество опытов, чтобы улучшить их аэродинамику). Когда скорость удваивается, сопротивление воздуха возрастает в четыре раза, когда она утраивается — в девять раз. Чтобы создать очень быстрый автомобиль, необходимо снабдить его мощным мотором.

Действие силы гравитации и трения математически можно записать так:

mg- FR =ma,

где mg — вес предмета, на который действует соответствующая сила притяжения. Сила трения FR, как уже было сказано, пропорциональна квадрату скорости и зависит от различных факторов, которые можно считать константой: