Введение в теорию риска (динамических систем) - Владимир Живетин

6. Область допустимых состояний Ωдоп и соответствующие ей xдоп изменяются в процессе функционирования и определяются экспериментально или теоретически.

7. Для предотвращения потерь и наилучшего достижения цели динамическая система должна включать в себя системы контроля и управления.

8. Система контроля обладает погрешностями, что обусловливает в процессе функционирования динамической системы необходимость строить область допустимых состояний Ωкдоп. При этом, как правило, Ωдоп и Ωкдоп не совпадают, т. е. Ωкдоп Ωдоп.

9. Оператор (человек), используя информационно-измерительную систему для управления, получает измеренные значения контролируемых параметров, которые обозначим xизм.

10. На выходе динамической системы реализуются фактические значения параметров, которые обозначим xф. При этом xизм = xф + δх, где векторный случайный процесс δх – погрешность информационно-измерительной системы.

11. Фактические значения параметров xф, в силу объективных причин, обусловленных внешними возмущениями и внутренними шумами, а также субъективными причинами, свойствами управлений от человека, изменяющимися случайным образом, представляют собой случайные процессы. На этапе анализа динамической системы векторный процесс xф должен задаваться с помощью математических моделей.

12. Для компенсации влияния δх на величину риска вводятся такие допустимые при контроле значения xкдоп и соответствующая им область Ωкдоп Ωдоп, которые в одномерном случае записываются в виде |xдоп – xкдоп| > 0, когда реализуется требование xдоп ≠ xкдоп.

13. При контроле над динамическими процессами, когда скорость изменения процесса во времени ≠ 0, необходимо вводить дополнительный запас, например, в виде = k || и вектор хдиндоп = хдоп ± . В результате имеем Ωкдоп Ωдиндоп Ωдоп при двустороннем и одностороннем ограничении.

14. Предотвращение потерь состоит в обеспечении условия xф(t) Ωдоп(t) для любого момента времени t функционирования динамической системы. Для целей управления мы располагаем величиной xизм, кроме того, система контроля индуцирует не область Ωдоп, а Ωкдоп. При этом хкдоп = хдоп + δхдоп, где δxдоп – погрешность функционирования системы контроля, а xкдоп задает границы Ωкдоп. В этих условиях можно обеспечить только условие хизм Ωкдоп, а это означает, что возможен выход xф из области Ωдоп, что может привести к соответствующим потерям и рискам.

15. В силу того, что процессы xф и xизм являются случайными, в качестве меры риска будем рассматривать вероятности P событий, приводящие, например, к экономическим, техническим, финансовым и другим потерям.

16. С учетом сказанного, необходимо разработать показатели риска

P = P(xдоп, xдиндоп, xкдоп, Моk(хф), Моk(хизм), a, b),

где Моk(хф) – центральный момент k-го порядка векторного случайного процесса xф для всех k N; Моk(хизм) – центральный момент k-го порядка векторного случайного процесса xизм; векторные величины a, b – параметры системы.

17. Полученные расчетным путем вероятности Рi уточняются в процессе функционирования динамической системы. В общем случае уточняются как Pi, так и область Ωкдоп.

Рассмотрим математическую модель вероятностных показателей риска и безопасности с учетом введенных понятий.

1.6.2. Вероятностное пространство событий. Вводные замечания

Поиск решения задачи в работе осуществляется при следующих допущениях относительно контролируемого и ограничиваемого индикатора x:

– критическое значение параметра состояния постоянно и не зависит от времени (xкр = const);

– фактические и измеренные значения параметра представляют собой случайные процессы с известным законом распределения;

– превышение параметром (когда ограничение сверху) величины xкр на любом интервале времени ведет к критической ситуации.

Введем необходимые обозначения.

Текущее, или фактическое, значение параметра запишем в виде xф = xн + Δx, где xн – номинальное значение (математическое ожидание) параметра; Δx – отклонение параметра движения x относительно xн. Обозначим через δx погрешность измерения параметра. Тогда измеренная величина параметра контроля x будет определяться суммой:

xизм = xн + Δx + δx.

Обозначим α xн + Δx = хф; β δx; γ xизм = α + β ( означает равенство по определению); xвдоп xв, xндоп xн – соответственно верхнее и нижнее допустимые значения хф; xквдоп , xкндоп – для измеренных значений x верхнее и нижнее допустимые соответственно; xн < < < xв (рис. 1.35).

Очевидно, что по известным вероятностным характеристикам (Δx, δx, xизм) находятся вероятностные характеристики (α, β, γ) и наоборот. При этом рассматривается вектор (α,γ) зависимых случайных процессов, в частности стационарных, а α и β – независимые случайные процессы (величины).

В процессе выполнения поставленной цели относительно фактических и измеренных значений возможны следующие события.

1. Фактическое значение α параметра находится в области допустимых значений, т. е. на одном из трех отрезков, принадлежащих промежутку [xн, хв] (рис. 1.35). Тогда имеем событие Аα {(xн ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ хв)}.

2. Фактическое значение α находится вне области допустимых состояний, превышая хв (рис. 1.36). В итоге имеем Вα {α > хв}.

3. Фактическое значение α находится вне области допустимых состояний, не достигая хн (рис. 1.37). В итоге имеем Cα {α ≤ хн}.

Рис. 1.35

Рис. 1.36

4. Измеренное значение γ индикатора х состояния динамической находится в области допустимых состояний объекта (рис. 1.38). В этом случае имеем событие Aγ { ≤ γ ≤ }.

Рис. 1.37