Принцесса или тигр - Рэймонд Смаллиан

9. Поскольку принцесса перешла в другое состояние, то, стало быть, одно из двух ее суждений было правильным, а другое ошибочным. Это означает, что из следующих двух высказываний одно истинно, а другое ложно:

(1) Король и королева принадлежат к разным типам.

(2) Король относится к дневному типу, а королева принадлежит к ночному типу.

Если высказывание (2) истинно, тогда высказывание (1) также должно быть истинным, однако мы знаем, что высказывания (2) и (1) не могут быть истинны одновременно. Таким образом, высказывание (2) должно быть ложным, а высказывание (1) — истинным. Поэтому король и королева действительно принадлежат к разным типам, но утверждение, что король относится к дневному типу, а королева — к ночному, не соответствует истине. Следовательно, король должен относиться к ночному типу, а королева—к дневному.

10. Предположим, что Орк принадлежит к дневному типу и в тот момент бодрствовал. Следует ли из этого предположения, что Орк должен быть колдуном? Да, следует, и вот почему. Допустим, что Орк действительно относится к дневному типу и в то время бодрствовал. Тогда его суждения правильны, откуда следует, что в случае, если он относится к дневному типу и бодрствует, то он и есть колдун. Но он принадлежит к дневному типу и бодрствует (лишь по предположению), следовательно, он должен быть колдуном (опять-таки, конечно, при условии, что он относится к дневному типу и бодрствует). Таким образом, предположение о том, что Орк относится к дневному типу и бодрствует, приводит нас к выводу, что он — колдун. Это, разумеется, вовсе не указывает ни того, что исходное предположение правильно, ни того, что он колдун, — мы доказали только то, что если бы он относился к дневному типу и бодрствовал, то в этом случае он должен был быть колдуном. Итак, мы установили гипотетическое утверждение, что если бы Орк принадлежал к дневному типу и бодрствовал, то в таком случае он — колдун. Но именно в это гипотетическое утверждение Орк в тот момент и верил; следовательно, мнение Орка было верным! Это означает, что Орк в то время либо относился к дневному типу и бодрствовал, либо принадлежал к ночному типу и спал, однако (пока) мы не можем точно сказать, какой из этих двух вариантов имел место на самом деле. Поэтому наше допущение о том, что Орк является колдуном, совсем не обязательно должно быть истиной, поскольку вполне может оказаться, что он принадлежит к ночному типу и в тот момент спал.

Далее, рассуждая подобным же образом, мы полагаем, что суждение Борка тоже верно. В самом деле, если Борк принадлежит к дневному типу и бодрствует или относится к ночному типу и спит — то в любом из этих случаев его суждение является правильным, откуда следует, что он непременно должен быть колдуном. Но это то, во что верит Борк, и, следовательно, его суждение верно. Теперь, поскольку суждение Борка верно, он либо относится к дневному типу и в тот момент бодрствовал, либо принадлежит к ночному типу и в тот момент спал. Однако же и в том, и в другом случае он должен быть колдуном.

Поскольку Борк — колдун, то, значит, Орк в свою очередь колдуном не является. Стало быть, Орк не мог в тот момент бодрствовать и не мог принадлежать к дневному типу, поскольку мы установили, что если бы это оказалось именно так, то колдуном обязательно должен был быть он. Таким образом, Орк в тот момент находился во сне и, кроме того, он принадлежит к ночному типу. Следовательно, Борк в тот момент тоже находился во сне, а поскольку суждение Борка оказалось правильным, то, значит, Борк должен относиться к ночному типу. Итак, колдун относится к ночному типу.

11. Из того, что островитянин считал, будто он принадлежит к дневному типу и бодрствует, мы можем сделать лишь один вывод — что он не относился к ночному типу и не спал. При этом у нас имеются три возможности.

(1) Он принадлежал к ночному типу и бодрствовал (причем его суждения были ошибочными).

(2) Он принадлежал к дневному типу и спал (и его суждения были ошибочными).

(3) Он принадлежал к дневному типу и бодрствовал (и его суждения были правильными).

Предположим теперь, что я сообщил моему приятелю, к какому типу относится островитянин. Мог бы в таком случае мой приятель решить задачу? Так вот, это в огромной степени зависело бы от того, что именно я ему сказал. Если бы я сообщил ему, что островитянин относится к ночному типу, тогда он сразу понял бы, что вариант (1) является при этом единственно возможным, и поэтому тотчас же сообразил бы, что островитянин бодрствовал. С другой стороны, если бы я сказал ему, что островитянин принадлежит к дневному типу, то это сразу исключило бы вариант (1), но сохранило бы варианты (2) и (3), причем мой приятель никак не смог бы выяснить, какая же из этих двух возможностей имеет место в действительности. Таким образом, в последнем случае он не сумел бы решить задачу.

Вместе с тем мой друг вовсе не требовал от меня ответа на вопрос, к какому типу относится островитянин; он лишь спросил меня, смог бы он решить задачу, если бы я сообщил ему, к какому типу принадлежит данный житель острова. На самом деле, если бы островитянин принадлежал к дневному типу, то на вопрос приятеля я должен был бы ответить «нет» (потому что, как показано выше, если бы я сообщил ему, что островитянин принадлежит к дневному типу, то он вообще не смог бы решить задачу). В то же время если бы житель острова относился к ночному типу, то на вопрос приятеля я ответил бы «да» (потому что, как мы только что показали, если бы я сообщил ему, что островитянин относится к ночному типу, то мой приятель вполне мог бы решить задачу). Таким образом, поскольку мой друг знал, что островитянин относится к ночному типу и бодрствует, то, стало быть, я ответил ему «да».

12. Из того, что жительница острова полагала, будто она принадлежит к ночному типу и спит, мы можем сделать один-единственный вывод — что она не принадлежала к дневному типу и не бодрствовала. При этом у нас остаются три возможности:

(1) Она принадлежала к ночному типу и спала.

(2) Она принадлежала к ночному типу и бодрствовала.

(3) Она принадлежала к дневному типу и спала. Если бы на вопрос моего первого приятеля я ответил «да», он тотчас же догадался бы, что единственной возможностью решения задачи в таком случае является вариант (3) (рассуждая при этом совершенно аналогично тому, как это делалось при решении предыдущей задачи). Но поскольку он не сумел решить задачу, то, по всей видимости, я ответил ему «нет». Естественно, что этот ответ исключает из рассуждения вариант (3), и поэтому у нас остаются лишь варианты (1) и (2). Обратимся теперь к вопросу, который мне задал мой второй приятель. Если бы я ответил ему «да», то он сразу же сообразил бы, что единственной реальной возможностью решения задачи является вариант (2) (только этот вариант относится к случаю, когда обитательница острова бодрствует, в то время как варианты (1) и (3) могут иметь место лишь в случае, когда она спит). Поскольку второй приятель также не смог решить задачу, стало быть, я опять ответил ему «нет», а это сразу отбрасывает вариант (2). Итак, нам остается только вариант (I), который и имел место в действительности, — то есть, что жительница острова относилась к ночному типу и находилась ко сне. как она сама справедливо и полагала.

Подведем итоги: то, что мой первый приятель не сумел решить задачу, исключает из рассмотрения случай (3), а то, что ее не смог решить второй приятель, отбрасывает случай (2). Таким образом, нам остается только вариант (3), а именно что обитательница острова принадлежала к ночному типу и спала.

Эпилог. В начале этой главы я упоминал, будто бы весь этот остров мне приснился. Вместе с тем, если бы такого рода остров существовал на самом деле, то, значит, мне приснились бы истинные события. Поэтому, если бы я оказался одним из его обитателей, то меня следовало бы отнести к ночному типу.

Метаголоволомки

Последние две головоломки предыдущей главы (не считая эпилога) — образцы восхитительного класса задачек, которые мне хочется назвать метаголоволомками, или головоломками о головоломках. Например, нам предлагают головоломку без достаточного количества исходных данных, необходимых для ее решения, а потом сообщают, что кто-то еще либо смог, либо не смог решить эту задачу, воспользовавшись некоторой дополнительной информацией, но не всегда говорят, что же это была за информация. Суть, однако, в том, что мы все же получаем некую частичную информацию, которая в конце концов и позволяет нам найти решение задачи. Задачи этого жанра, к сожалению, редко встречаются в книгах. Ниже предлагаются пять таких головоломок — сначала совсем легкие, потом посложнее, а последняя венчает и эту главу, и предыдущие.

1. Дело Джона.

Как-то раз шло судебное расследование по делу двух братьев-близнецов. Было известно, что по крайней мере один из них никогда не говорил правду, хотя и не ясно, кто же именно. Одного из братьев звали Джон — именно он и совершил преступление. (При этом вовсе не обязательно, чтобы Джон был тем из близнецов, который всегда лгал.) Цель расследования заключалась в том, чтобы выяснить, кого же из братьев зовут Джон.