Зеркальный мир - Вернер Гильде

Если объезжать этот 'узел' по стрелке, то б.уквы появятся один раз в 'непрямом' ряду и один раз - в прямом

Перед футурологами уже сегодня встает проблема: будем ли мы в 2000 г. покупать молоко в тетраэдрах или только в порошке, а может быть, нам снова придется возиться с молочными бидонами?

Однако в этой книге нас прежде всего интересуют вопросы, более близкие теме.

Право же, удивительно, что из пятиугольников тоже можно построить многогранник. А почему это невозможно из шестиугольников? Тем более что шестиугольник можно построить из шести треугольников?

Пятиугольники и шестиугольники нельзя уложить на плоскости без зазоров. Эти зазоры закрываются при образовании шара

Очевидно, дело тут не только в самой исходной плоской фигуре (треугольник, квадрат, пятиугольник), но и в том, как эти поверхности, примыкая, соединяются друг с другом. Если шестиугольники выложить на стол, станет ясно, что они покрывают плоскость без зазоров. Это свойственно также треугольникам и квадратам. А вот сложить из шестиугольников, не деформировав их, объемное тело, невозможно. Если все же попытаться с легким нажимом сделать такой многогранник из шестиугольников, его грани выгнутся и форма будет приближаться к шарообразной.

Шаровую конструкцию особого рода представляет собой футбольный мяч. Миллионы людей много раз в неделю видят этот мяч на экране телевизора. Сотни тысяч видят его «в натуре», на стадионе. Все знают, что покрышки мяча состоят из белых и черных фигурок. Но, как ни странно, лишь немногие могут с уверенностью сказать, из каких именно многоугольников он сделан. Даже футболисты колеблются, вспоминая, из пяти- или из шестиугольников. Это типичный пример нашей невнимательности в повседневной жизни.

Используя многоугольники разных видов, можно создать множество узоров для кафельного пола

Прежде кожаная покрышка делалась из двухконечных долек, подобных тем, которые надрезаются на апельсиновой кожуре. У большинства современных мячей покрышка состоит из изогнутых многоугольников. Она весит около 300 г при окружности мяча около 64 см и составляется из 12 черных и 20 белых «полей». Ребро каждого многоугольника независимо от числа его углов имеет в длину 4,3 см. Вокруг каждого черного пятиугольника располагается шесть белых шестиугольников.

Как уже говорилось, на плоскости шестиугольник, окруженный шестью другими шестиугольниками, образует мотив сплошного узора. Пятиугольник, окруженный пятью шестиугольниками, не заполняет всю плоскость без зазоров. Но если с некоторым усилием соединить такие многоугольники из кожи, получится (с весьма хорошим приближением) шар - наш футбольный мяч. Пространственно деформированные шестиугольники применяются и в строительстве при сооружении современных облегченных конструкций.

На рисунке показано 8 полурегулярных мотивов узора, каждый из которых включает два или больше различных типов правильных много угольников, соединенных углами или сторонами. В каждом углу сходится одинаковое число образующих узор многоугольников

Таким образом, из недеформированных плоских фигур одного типа и размера могут быть сложены только пять Платоновых тел.

Большие возможности для комбинаций из плоских фигур открываются при составлении узоров из кафельных плиток (например, на полу в ванной комнате). В них бесконечно повторяются мотивы из равносторонних треугольников, квадратов и шестиугольников. А вот с пятиугольными плитками плиточник едва ли смог бы что-нибудь сделать. Их невозможно сложить в подобный узор.

Особые свойства равностороннего или равнобедренного треугольника (ибо квадрат состоит из двух равнобедренных, а шестиугольник из шести равносторонних треугольников) связаны с суммой его углов, которая составляет 180°. Сумма углов всякого n-угольника равна (n - 2) • 180°. У пятиугольника она будет (5-2) • 180° = 540°. Разделив 540 на 5, мы получим для каждого угла 108°. В точках, где сходятся все плитки, сумма всех углов должна составлять 360°. Но из углов, равных 108°, невозможно составить суммарный угол в 360°!

На рисунке показано 8 полурегулярных мотивов узора, каждый из которых включает два или больше различных типов правильных много угольников, соединенных углами или сторонами. В каждом углу сходится одинаковое число образующих узор многоугольников

Мы уже говорили, что узор из плиток можно составить только в том случае, если взять правильные треугольники, квадраты и шестиугольники. Однако это справедливо лишь тогда, когда прикладывается сторона к стороне и угол к углу. Но эти три вида многоугольников обнаружат различия, как только мы изберем другой мотив узора для нашего пола. Квадраты и равносторонние треугольники будут заполнять всю плоскость и в том случае, если они не примыкают углом к углу. В мотиве, выложенном шестиугольниками, между примыкающими углами и сторонами образуются зазоры. Но сами эти зазоры способствуют созданию новых восхитительных узоров. Для шестиугольников существуют четыре мотива их сочетания в единый узор с треугольниками и квадратами.

Кроме того, известны еще две комбинации, в которых участвуют только квадраты и треугольники, и две, в которых плюс к тому используются еще и восьми-, и двенадцатиугольники. Созданием «узоров для кафеля» увлекались многие математики.

При выкладывании узоров из кафельных плиток нет границ для фантазии

Так, известно, что Иоганн Кеплер занимался составлением узора из шестиугольников, окруженных треугольниками. Любопытно, что этот узор (и только он) может иметь зеркально симметричное изображение. Остальные узоры в зеркале не меняются. Переворачивается только узор Кеплера.

Взяв любые -многоугольники и не ограничиваясь особыми правилами при их соединении, мы можем придумать великое множество мозаичных узоров. Русский кристаллограф Е. С. Федоров в 1891 г. доказал, что при этом выделяются 17 различных групп симметрии. На практике эти группы были известны уже арабам и использовались ими в мозаиках Альгамбры в Испании.

Глаз человека склонен все дальше дробить увиденные узоры, особенно если они контрастны по цвету, как, к примеру, шахматная доска. Начнем с «шахматной доски», состоящей всего из двух рядов по две клетки. (Вместо шахматной доски можно взять четыре квадратные кафельные плитки пола или стены.)

Как можно разделить пополам узор, состоящий из 2X2 плиток? Ответить на этот вопрос, разумеется, не трудно. Только одной чертой, проходящей посередине либо слева направо, либо сверху вниз и отделяющей две клетки (слева или сверху).

Квадрат, составленный из 4Х4 клеток, можно разделить пополам шестью способами

Доску, состоящую из 3Х3 клеток, разделить пополам (не перекая клетки) невозможно. В некоторых играх, правда, используются игровые поля 3Х3, 5Х5 и т. д., исключающие середину я чтобы при делении игрового поля пополам получилось целое число клеток. Но мы здесь не будем рассматривать такие уже и от тех, что складываются из целого числа клеток, голова может пойти кругом.

Сколько существует возможностей разделить пополам узор, составленный из 4 х 4 клеток, не пересекая их? При этом мы пренебрежем различием верх - низ и левое - правое. (Такие решения можно перевести друг в друга простым поворотом.) Тот, кто как следует повозится с таким делением, найдет, худо - бедно, 6 способов.

А если попробовать разделить поле 6x6 клеток? Английский мастер головоломок Генри Э. Дьюдени нашел 255 способов деления такого поля. Для шахматной доски с 64 клетками (8Х8) компьютер рассчитал 92 263 варианта деления!

Существует множество аналогичных задач, над которыми бьются шахматисты и математики. Излюбленными остаются задачи такого рода: сколько ферзей (или слонов, или ладей) можно выставить на одну доску, чтобы они не угрожали друг другу? (Для тех, кто не играет в шахматы, следует заметить, что ферзь имеет право ходить во все стороны, включая и диагонали, сколь угодно далеко.) Любители шахмат определили, что на доске могут находиться 8 ферзей.

Тут встает следующий вопрос: сколько существует вариантов их расстановки? В 1850 г. Франц Наук опубликовал в лейпцигской «Иллюстрированной газете» ответ: таких основных позиций 12.

Поскольку мы много говорили о зеркальных плоскостях, надо надеяться, вы, не задумываясь, проведете плоскость симметрии через шахматную доску сверху вниз. Это будет первым решением.

Следующую плоскость зеркального отражения вы можете провести слева направо, еще две плоскости пройдут по диагонали. Таким образом, мы нашли еще четыре решения. Теперь повернем поле на 180° и снова проведем две диагональные плоскости зеркального отражения и одну - сверху вниз. Но вот провести плоскость симметрии слева направо мы больше не сможем: она даст нам только ту же картину, которую мы уже видели.