Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике. - Gustavo Pineiro

На рисунке 1 показано, как можно доказать равномощность окружности с выколотой точкой (ее отсутствие обозначено пустым кружком) отрезку без концов, искривляя его. Оба эти множества точек — в сущности одно и то же, их единственное различие заключается в графическом изображении на плоскости. В одном случае они располагаются на прямой, в другом — по окружности. На рисунке 2 показано, как установить взаимно однозначное соответствие между окружностью без точки и прямой. Каждой точке Р окружности соответствует точка F на прямой (Р и Р' должны всегда находиться на одной линии с недостающей окружности точкой). Исходя из транзитивного свойства мы заключаем, что отрезок без концов эквивалентен замкнутой оси.

РИС.1

РИС. 2

В 1877 году сам Кантор не знал, существует ли множество с мощностью большей, чем у вещественных чисел, и смог дать ответ на этот вопрос только в 1883 году.

Множество вещественных чисел обладает большей мощностью, чем множество натуральных чисел. Возникает вопрос: есть ли множество с еще большей мощностью? Но логичным образом рождается еще один вопрос: существует ли множество со средней мощностью? То есть множество с мощностью большей, чем у натуральных чисел, но меньшей, чем у вещественных.

Все множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, Кантор называл счетными: например, множества целых и рациональных чисел счетные, а множество вещественных — нет. Поэтому вопрос можно переформулировать и так: существует ли бесконечное несчетное множество с мощностью, меньшей, чем у вещественных чисел?

Кантор несколько лет безуспешно пытался найти пример такого множества. Множества натуральных, целых, рациональных и алгебраических чисел являются счетными. Иррациональные и трансцендентные числа — несчетны, но эквивалентны вещественным числам, и, следовательно, их мощность не меньше.

В конце концов, после того как все попытки Кантора найти среднее множество провалились, в 1877 году он пришел к выводу, что его не существует, и сформулировал так называемую «континуум-гипотезу»: не существует никакого бесконечного множества, мощность которого была бы промежуточной между мощностью натуральных и вещественных чисел (см. рисунок).

Гипотеза — это утверждение, которое пока не было ни доказано, ни опровергнуто. В данном случае для подтверждения гипотезы нужно было бы доказать, что не существует множества с промежуточной мощностью между множеством натуральных и вещественных чисел, а для опровержения — найти такое множество.

В 1877 году Кантор был убежден в правильности своей гипотезы, хотя и не сумел доказать ее. Этот вопрос занимал его долгие годы, и в 1833 году его желание получить подтверждение своим идеям стало для него делом огромной важности. Ответ был довольно неожиданным.

Как мы уже говорили, любой отрезок, любой квадрат и плоскость имеют одинаковую мощность. То же самое относится и к кубу, и ко всему трехмерному пространству.

Один из выводов из этого положения: если мы обратимся к отрезку, который начертили раньше, фрагмент между точками 0 и 0,0000000000001 (минимальной длины, его невозможно увидеть невооруженным глазом) имеет точно такую же степень бесконечности, как и все трехмерное пространство, хотя оно занимает актуально бесконечный объем, гораздо больший, чем объем Вселенной (если считать, что у Вселенной конечный объем).

Это заключение, хотя и математически верное, настолько противоречит здравому смыслу, что с ним было очень сложно согласиться, тем более в 1870 году, когда большинство математиков сомневались в самом факте существования актуальной бесконечности.

Континуум- гипотеза утверждает, что «промежуточного» множества не существует, но в 1877 году еще было неизвестно наверняка, так ли это.

Кантор изложил эти выводы в статье 1877 года Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre («К учению о многообразиях»). Для Кантора «многообразие» было синонимом «множества».

В июле он отправил текст в авторитетный берлинский «Журнал Крелле», который уже опубликовал его работу в 1874 году.

Но на сей раз ситуация была иной.

Тогда Кантор доказывал, что вещественные числа нельзя записать в виде последовательности, и заключал, что на любом отрезке числовой оси есть бесконечное количество трансцендентных чисел (бесконечность в контексте той статьи можно было интерпретировать как мощность). По совету Вейерштрасса Кантор сделал едва заметный намек на возможность сравнения двух бесконечных множеств и не стал развивать эту тему. К тому же он даже не поднял вопрос самого понятия мощности.

Сравнение бесконечных множеств стало лейтмотивом статьи 1877 года, причем трактовалось оно не просто как способ доказательства числового результата. В ней Кантор начал с определения того, что два множества эквивалентны, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Он также проиллюстрировал понятие мощности и вернулся к теореме 1874 года о трансцендентных числах, но в контексте сравнения бесконечных множеств. Затем ученый доказывал, что отрезок без одного конца эквивалентен отрезку с двумя концами и что отрезок эквивалентен квадрату. В конце Кантор впервые открыто изложил континуум-гипотезу.

Будущие поколения будут считать эту теорию [теорию множеств] болезнью, от которой мы излечились.

Французский математик Анри Пуанкаре, 1908 год

Содержание этой статьи было очень спорным для того времени, так что Кантор столкнулся с серьезной критикой. Он писал Дедекинду 10 ноября 1877 года: 

«Публикация моей работы, с которой вы уже ознакомились, в журнале Борхардта [Карл Вильгельм Борхардт был издателем «Журнала Крелле» с 1856 по 1880 год] удивительным и необъяснимым образом все откладывается, хотя я отправил ее 11 июля, а вскоре получил заверение, что она будет напечатана в кратчайшие сроки.

Сегодня через моего старого друга Лампа, корректора журнала, я узнал, что Б. [Борхардт] опять отложил выход моей статьи, изменив таким образом намеченный порядок. Судьба публикации еще не решена. Он написал мне, что пытается ускорить ее одним ловким маневром. Я хочу думать, что ему это удастся, но надо также быть готовым и к тому, что он потерпит неудачу. В этом случае я намереваюсь полностью изъять мою работу из рук господина Б. [Борхардта] и напечатать ее в другом месте». 

Видимо, «ловкий маневр» Лампа удался, поскольку «Журнал Крелле» опубликовал статью Кантора в 84-м выпуске 1878 года, на страницах 242-258. Однако Кантор был настолько обижен неуважительным поведением Борхардта, что больше не отправил в этот журнал ни одной статьи.

Хотя Кантор в своем письме жаловался на Борхардта, главным противником публикации его статьи был Леопольд Кронекер, и Кантор прекрасно это знал.

Немецкий математик Кронекер, родившийся в 1823 году, был очень уважаем и обладал большим влиянием. Он занимался алгеброй, исчислением, арифметикой — особенно интересовали его точки их соприкосновения, — а также метеорологией, астрономией, химией и философией. В частности, он интересовался учениями Декарта, Лейбница, Канта, Спинозы и Гегеля.

В 1861 году по рекомендации Куммера и благодаря своим многочисленным наградам он был избран членом Берлинской академии наук, а в 1868 году — Парижской. Но несмотря на разносторонние математические интересы, научные методы Кронекера были весьма ограничены ввиду его философской позиции, которую можно описать знаменитой максимой: 

Die Ganze Zahl schuf der liebe Gott, alles Übrige ist Menschenwerk («Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человека»).

Прокомментируем одно любопытное следствие из теории Кантора. Для этого условимся, что термин «вычисление» и любой эвфемизм называют число, если определяют его точно, не оставляя места недопониманию. Например, «количество дней недели» — обозначение числа 7, как и «сумма чисел 6 и 1». «Соотношение между длиной окружности и ее диаметром» — обозначение числа π. «Число, которое начинается с 0,1100010000000 00000000001000..., где первая единица стоит на первом месте после запятой, вторая единица — на месте 1 ∙ 2 = 2, третья единица — на месте 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6 и так далее», — название трансцендентного числа Лиувилля. Таким образом, мы можем доказать, что множество всех возможных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, тогда как множество вещественных чисел ему не эквивалентно. Другими словами, вещественных чисел больше, чем названий для них. Отсюда следует, что существуют неуловимые вещественные числа, которые нельзя никак назвать и определить. Существует бесконечное количество таких вещественных чисел, хотя и, разумеется, невозможно привести ни одного их примера, так как любое число, которое мы сможем продемонстрировать, обязательно должно обладать названием (которое мы используем, чтобы показать его). Это случай доказательства простого существования, рассуждения, в котором доказывается наличие объектов (однако пример их невозможно найти).