Число и культура - А. Степанов

В христианском мировоззрении атрибут всесторонней бесконечности присваивался исключительно Богу – кто или что в состоянии положить Ему предел? Для преодоления дегуманизированности Бог был представлен как Личность, но и это не избавляло Его от непостижимости, нуминозности и иррациональной же безграничной любви. Напротив, мир тварный автоматически конечен и благодаря этому подведомственен инструментам мысли, воли и чувств. По мере секуляризации идея бесконечности вторглась в научный обиход – логически компактными, обозримыми, но при этом неограниченными по протяженности были признаны, в частности, пространство и время, вместилища всего существующего и происходящего. Элиминация Бога, или "гипотезы Бога", из науки сопровождалась заимствованием дискурсивных черт, которые прежде адресовались только Ему. По известному замечанию, идея Бога вытеснялась идеей бесконечного пространства. В постклассический период, однако, вместе с включением "наблюдателя" и гравитации в общей теории относительности, вселенная вновь обретает конечность во времени и пространстве, и бесконечности либо сохранились исключительно в укрощенно-латентном виде (из-за континуальности), либо, если появлялись, стали только мешать (проблема сингулярности). Иногда в физике рассматриваются объекты с бесконечным числом степеней свободы (в известном смысле бесконечномерные), но здесь бесконечность скорее формальная, ибо обязана тому, что отсутствуют "выделенные" направления движения. В наиболее строгих же и логически самодостаточных концептах явно превалирует финитизм – как, скажем, в теории доказательств Д.Гильберта, исключающей обращение к абстракциям бесконечности, требующей содержательности рассуждений, их соотносительности с конкретными знаковыми комплексами и оттого лишенных неясностей и сомнений.

В рамках нашей культурологической модели бесконечномерные симплексы – главным образом нонсенс. И хотя мы до некоторой степени в состоянии представить систему с бесконечно большим числом элементов – например, совокупность лиц местоимений, порожденную ситуацией диалога ( n = 2, см. раздел 1.3) и состоящую не из трех (М = 3), а из бесконечного количества логико-грамматических мест, – такой вариант очевидно лишен практического значения. Поэтому решение М = ∞ (бесконечности); в основном оставляем за скобками, впрочем, отдавая себе при этом отчет, что его формальное наличие соответствует некоему следу в интеллектуальном переживании той же ситуации диалога и потому дает знать о себе в виде более или менее глухой коннотации. Последняя привносит специфический "иррациональный" оттенок в контекст, формирует фон или почву, на которых зиждится и взрастает вполне рациональный симплекс (в данном случае М = 3). Образно выражаясь, решение М = ∞ играет роль своеобразного моста, соединяющего совершенно иррациональную, неинтеллигибельную стихию (не схватываемую никаким числом вообще) с царством логики и числа. Статус бесконечности в качестве "получисла" – уже числа, но при этом лишенного определенности, величины – способствует выполнению этой задачи, сравнимой по характеру с процессом творческого порождения.

Отчасти сходное положение и с решением М = 0, сопровождающим все прочие "здравые" варианты. Как мы помним (см. начало раздела 1.4.1), при любой положительной кратности отношений n, наряду с "нормальным" случаем М = n + 1, выступает и этот: М = 0, – из-за чего к нему был применен эпитет "универсального". Несмотря на то, что элементов в системе нет и, казалось бы, не о чем говорить, в свое время мы отказались принять его прозвище "тривиального". Пора обосновать наш отказ.

Исторически числу нуль не очень везло. Человек знал уже много разновидностей чисел, даже иррациональных, но нужды в нуле долгое время не испытывал. Его по существу не ведал ни Древний Египет, ни Вавилон, не востребовала и античность. Зачем считать то, чего нет? (2) Нуль – действительно странное понятие.

Если счет или измерение имеют дело с реально существующими предметами, то в данном случае число уже есть, а предмета – нет. Нуль в роли представления и обозначения начал-таки проклевываться в Вавилоне – для фиксации отсутствующего разряда при записи количеств. Запись и подсчеты велись на разграфленных табличках, и если в каком-то столбце ничего не было, то, чтобы не путаться и чтобы туда случайно ничего не попало, место занимали специальным значком [142].(3) Греки при вычислениях на абаке применяли особый круглый камешек с отверстием посередине. Таковы первые свидетельства о формировании категории значимого отсутствия.

Это были еще робкие попытки, нуль не обладал сколько-нибудь отчетливой самостоятельностью. На протяжении тысячелетий развития процедуры счета он сумел дотянуться лишь до статуса цифры, значка, но не настоящего числа, т.к. без сопровождения других цифр не означал ровно ничего. Часто на его месте по-прежнему оставляли пустое место.

Первыми, кто понял нуль именно как отдельное, реальное число, были, по-видимому, индийцы (по другим версиям, индийцы заимствовали его у китайцев [142, с. 178]). Вообще индийские математики отличались немалым своеобразием. С одной стороны, математики всех древних цивилизаций во многом повторяли друг друга, хотя и использовали разную символику, опирались на разные критерии убедительности. Вероятно, справедливо, когда историки говорят, что науку в современном смысле слова, в частности математическое доказательство, придумала ранняя античность и возводят последнее к риторическим спорам [128]. Публичные диспуты в Древней Греции были исключительно престижны, искусству обоснования своей точки зрения долго и старательно обучались (у софистов, философов). Победе в споре – перед лицом судей, сограждан, богов – придавалось и судьбоносное значение. Полагают, что Фалес (либо Пифагор) первым придумал способ "неотразимой" аргументации, финитное "что и требовалось доказать" до сих пор несет след той эпохи. Но словесное доказательство и убедительное знание – отнюдь не синонимы. У ученых может быть мотивация, весьма отличная от тщеславия греков. Иные из индийских математиков, например, вообще старались тратить поменьше слов. Вместо текста они помещали в рукописи рисунок для изображения, скажем, некоей геометрической истины и подписывали его: "Смотри!" [142]. Такая "голая" подпись сопровождает, среди прочих, чертеж, за которым стоит остроумнейшее, кратчайшее доказательство положения, называемого нами теоремой Пифагора. "Очевидность" в таких случаях становилась буквальной. Но сейчас речь об арифметике, а не геометрии.

Индийцы (по мнению других, китайцы) ввели понятие отрицательного числа, уже Брахмагупта (ок. 598 – 660) уверенно обращается с ними (отрицательное число трактовалось как коммерческий долг [307:I, с.76]). В I в. н.э. в Индии был введен особый знак для нуля, и последний приобретает абсолютное позиционнное значение [224, c. 59], т.е. становится "настоящим" числом. От индусов – через арабов – представление о нуле пришло в Европу, но было здесь окончательно легитимизировано, как полагают, только в ХVII в., вместе с Декартом! (Сам Декарт, впрочем, еще считал отрицательные число и нуль "ненастоящими", "ложными" числами [87, c. 136].)(4) В контексте же индийской культуры нуль выглядит совершенно органично. Во-первых, как только что отмечалось, оригинальны индийская математика в целом, и, скажем, К.Бойер констатирует: "Индусы были сильны в ассоциации и аналогии, в эстетическом и связанном с воображением чутье (flair), в то время как арабы были более практически мыслящие и приземленные в своем подходе к математике" [420, p. 252], цит. по: [152, c. 28]. Европейцы узнавали о достижениях индийцев от арабов, присоединяясь к упомянутым практицизму и приземленности. Во-вторых, более конкретно: индуизм и буддизм издавна были озабочены проблемой значимого отсутствия, у них оно является одним из онтологически, гносеологически центральных – наряду с пустотой, нирваной, избавлением от миража материального мира (из многих словесных обозначений нуля, например "небо", "дыра", в конечном счете больше всего у индийцев привилось название "шунья", пустое). Совершенно иная ориентация у нас, считающих своей духовной родиной Европу.

Европейцы действительно – особенно после Ренессанса – переняли от античности "предметность", "материальность" сознания. При такой установке прав Пифагор, называвший первым числом конкретную, явленную единицу, из которой ведут свое происхождение все остальные числа.(5) Похоже, некогда лишь элеаты подумывали об альтернативном пути (к ним мы еще обратимся), но генеалогия европейской мысли насажена на вектор, идущий от Пифагора через Платона, Аристотеля, средневековье к Декарту. Да, в условиях новой эпохи, новых задач европейцы заимствовали индийские понятия отрицательных чисел и нуля, но последнее и поныне осталось для нас во многом чужим!