Ноль: биография опасной идеи - Чарльз Сейфе

С атомистической теорией конкурировало другое философское учение. Вместо использования таких странных концепций, как бесконечный вакуум, оно изображало Вселенную в виде уютной ограниченности. Никакой бесконечности, никакой пустоты — только прекрасные сферы, окружающие Землю, которая, естественно, находится в центре Вселенной. Такова была система Аристотеля, впоследствии усовершенствованная александрийским астрономом Птолемеем. Она сделалась доминирующей философией западного мира. Отвергнув ноль и бесконечность, Аристотель объяснил парадоксы Зенона.

Он просто заявил, что математики «не нуждаются в бесконечности и не используют ее». Хотя «потенциальная» бесконечность могла бы существовать в уме — как концепция деления отрезка прямой на бесконечное число кусочков — никто в действительности не способен это сделать, так что на самом деле бесконечности не существует. Ахиллес без труда пробегает мимо черепахи, потому что бесконечные элементы — просто плод воображения Зенона, а не явление реального мира. Аристотель просто пожелал, чтобы бесконечности не существовало, заявив, что она — создание человеческого ума.

Из этой концепции следовало поразительное открытие. Согласно с представлением о пифагорейской вселенной, аристотелевский космос (и его позднейшее усовершенствование Птолемеем) состоял из хрустальных сфер, в которых двигались планеты. Однако, поскольку бесконечность была отвергнута, таких сфер не могло быть бесконечное число; обязательно должна была существовать последняя. Эта самая дальняя сфера представляла собой синий шар, испещренный крошечными сияющими точками — звездами. Не могло быть ничего «за пределами» внешней сферы; Вселенная резко заканчивалась с этим последним слоем. Она удобно покоилась внутри сферы неподвижных звезд; космос был конечен в своей протяженности и полностью заполнен материей. Не существовало ничего бесконечного, не существовало пустоты; не существовало бесконечности, не существовало ноля.

Эти рассуждения имели и другое следствие; как раз по этой причине аристотелевская философия продержалась так много лет. Теория Аристотеля доказывала существование Бога.

Небесные сферы медленно вращались на своих местах, рождая заполняющую космос музыку. Однако что-то должно было быть причиной этого движения. Неподвижная Земля не может быть источником движущей силы, так что ближайшая к ней сфера должна приводиться в движение следующей сферой; эта сфера, в свою очередь, — своим более крупным соседом и так далее. Однако бесконечности ведь не существует; число сфер конечно, конечно и число вещей, которые движут друг друга. Должна существовать первопричина движения, что-то должно двигать сферу неподвижных звезд. Это — первичная сила — Бог. Когда христианство распространилось на Западе, оно оказалось тесно связанным с аристотелевским взглядом на Вселенную и с доказательством существования Бога. Атомизм влек за собой атеизм. В некотором смысле сомнение в доктрине Аристотеля приравнивалось к сомнению в существовании Бога.

Система Аристотеля пользовалась огромным успехом. Его самый знаменитый ученик, Александр Македонский, успел распространить ее на восток до Индии до своей безвременной смерти в 323 году до н. э. Система Аристотеля пережила империю Александра, она просуществовала до времен королевы Елизаветы I, до XVI века. Вместе со столь долгим признанием учения Аристотеля имело место и отрицание бесконечности и пустоты, поскольку одно требовало другого: из признания пустоты следовало признание бесконечности. В конце концов, существуют всего две логические возможности объяснения пустоты, и обе предполагают существование бесконечности. Во-первых, пустоты могло бы быть сколь угодно много — значит, бесконечность существует. Во-вторых, пустоты могло бы быть ограниченное количество, однако поскольку пустота — просто отсутствие материи, должно было существовать бесконечное количество материи, чтобы обеспечить лишь ограниченное количество пустоты, — следовательно, бесконечность существует. В обоих случаях существование пустоты предполагает существование бесконечности. Пустота и ноль разрушают аккуратные рассуждения Аристотеля и его опровержение Зенона, его доказательство существования Бога. Поэтому, признав аргументы Аристотеля, греки были вынуждены отвергнуть ноль, пустоту и бесконечность.

Однако существовала проблема. Не так легко отвергнуть и бесконечность, и ноль. Оглянемся во времени. На протяжении всей истории происходили события, но если не существует бесконечности, не может быть и бесконечного числа событий. Таким образом, должно было иметь место первое событие: творение. Однако что существовало до творения? Пустота? Для Аристотеля это было неприемлемо. Напротив, если не было первого события, Вселенная должна была существовать всегда — и всегда существовать в будущем. Приходилось признать или бесконечность, или ноль: без них Вселенная лишается смысла.

Аристотель так ненавидел идею пустоты, что предпочел признать существование вечной и бесконечной Вселенной существованию той, в которой имел бы место вакуум. Он говорил, что вечность была «потенциальной» бесконечностью, как бесконечное деление Зенона. (Это было натяжкой, но многие ученые согласились с таким аргументом, некоторые даже приняли историю творения как еще одно доказательство существования Бога. Средневековые философы и теологи были обречены сражаться с этой загадкой на протяжении нескольких столетий.)

Каким бы неверным ни был взгляд Аристотеля на физику, он был настолько влиятелен, что более тысячелетия затмевал все ему противоречащие, в том числе и более реалистические. Наука так и не могла бы двинуться вперед, пока мир не избавился от аристотелевой физики вместе с аристотелевым отрицанием бесконечностей Зенона.

Несмотря на всю свою ученость, Зенон впутался в крупные неприятности. Около 435 года до н. э. он вступил в заговор против тирана Элеи, Неарха, и провозил оружие для его свержения. К несчастью для Зенона, Неарх узнал о заговоре, и Зенон был схвачен. Рассчитывая узнать, кто были его сообщники, Неарх подверг Зенона пыткам. Скоро Зенон стал умолять палачей прекратить пытки и пообещал назвать своих сотоварищей. Когда Неарх приблизился, Зенон настоял на том, чтобы тиран подошел совсем вплотную, потому что лучше было сохранить имена заговорщиков в секрете. Неарх наклонился к Зенону. Неожиданно тот вцепился зубами в ухо Неарха. Неарх закричал, но Зенон не отпускал. Палачи смогли заставить его разжать зубы, только зарезав его. Так погиб повелитель бесконечного.

Со временем другой древний грек превзошел Зенона в вопросе бесконечного. Это был Архимед, эксцентричный математик из Сиракуз. Он был единственным мыслителем своего времени, бросившим взгляд в бесконечность.

Сиракузы были богатейшим городом острова Сицилия, а Архимед был их самым знаменитым жителем. О его юности мало что известно, по-видимому, он родился около 287 года до н. э. на Самосе, родине Пифагора. Перебравшись в Сиракузы, Архимед решал многие инженерные проблемы для их правителя, тирана Гиерона. Однажды тиран попросил Архимеда определить, изготовлена ли его корона из чистого золота или из сплава золота с серебром. Эта задача была не по силам всем ученым того времени. Однажды, погрузившись в ванну, Архимед заметил, что вода переливается через край. Он неожиданно подумал о том, что сможет измерить плотность короны и тем самым определить чистоту золота, погрузив ее в сосуд с водой и измерив объем вытесненной жидкости. Взволнованный своим прозрением, Архимед выскочил из ванны и побежал по улице Сиракуз, восклицая: «Эврика! Эврика!» и забыв о том, что совершенно гол.

Таланты Архимеда были полезны и войскам Сиракуз. В III веке до н. э. греческая гегемония прекратила существование. Империя Александра Македонского распалась на враждующие государства, и на Западе играла мышцами новая сила: Рим. И Рим имел виды на Сиракузы. Как говорит легенда, Архимед вооружил войско Сиракуз удивительным оружием для защиты города: катапультами, метавшими камни, мощными кранами, которые захватывали римские корабли, поднимали вверх и опрокидывали в воду, и зеркалами, отражавшими солнечный свет и таким образом на расстоянии поджигавшими римские суда. Римские солдаты так боялись этих боевых машин, что, увидев над стеной веревку или кусок дерева, обращались в бегство, думая, что это Архимед нацеливает свое оружие.

Архимед увидел бесконечность благодаря полировке своих зеркал. Греки уже не одно столетие интересовались коническими сечениями. Если рассечь конус плоскостью, можно получить окружности, эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от того, под каким углом к оси конуса проведена плоскость. Параболическое зеркало обладает одной особенностью: оно собирает в точку солнечные лучи (или лучи от любого удаленного источника света) и фокусирует всю переносимую ими энергию на очень малой площади. Зеркало, которое смогло бы поджечь корабль, должно было быть параболическим. Архимед изучал свойства параболы и именно при этом впервые соприкоснулся с бесконечностью.