Научная революция XVII века - Владимир Кирсанов

Однако задача, которую поставил перед собой Декарт, далеко не ограничивалась введением новой, более удобной символики, хотя и это было делом первостепенной важности. Задача была значительно более глубокой и принципиальной: как соотнести алгебраические понятия и геометрические построения, чтобы затем исключить из алгебры необходимость в таких построениях. Например, любое квадратное уравнение или выражение вида (a + b)2 = а2 + 2ab + b2 изображалось с помощью квадратов, связанных, как показано на рисунке. Эта традиция вела свое начало от Евклида, но даже и Виет постоянно иллюстрировал свои алгебраические выводы геометрическими построениями.

Главная трудность состояла в том, чтобы дать многочленам любых степеней наглядное геометрическое изображение. Для a2 таким изображением являлся квадрат, для a3 — куб, но уж четвертая степень представляла неодолимую проблему. Декарт решил ее, поставив степени любого числа в соответствие не фигуру или тело, а отрезок, сделав таким образом все величины, входящие в любое алгебраическое выражение, однородными. Вот как сам он излагает свою идею:

«Подобно тому как вся арифметика состоит только в четырех или пяти действиях, именно в сложении, вычитании, умножении, делении и извлечении корней, которое можно считать некоторого рода делением, подобно этому и в геометрии для нахождения искомых отрезков надо только прибавлять или отнимать другие; или, имея отрезок, который я для лучшей связи с числами буду называть единицей и который вообще можно выбирать по произволу, и имея, кроме него, два других отрезка, надо найти четвертый, который так относится к одному из этих двух, как другой к единице,— это равносильно умножению; или приходится находить четвертый, который так относится к одному из двух данных, как единица к другому,— это равносильно делению; или, наконец, случается находить одно или несколько средних пропорциональных между единицей и другим отрезком — это равносильно извлечению корня. И я нисколько не колеблюсь ввести эти арифметические выражения в геометрию, чтобы мое изложение было более понятным» [11, с. 11—12].[15]

Поясним сказанное Декартом для случая умножения. Пусть дано: отрезок АВ, равный 1, отрезок BD, равный а, отрезок ВС, равный b. Требуется найти отрезок, равный произведению BD∙BC, т. е. ab. Для этого на сторонах произвольного угла откладываем отрезки АВ, ВС и BD так, как это показано на рисунке. Точки А и С соединяем и проводим через D прямую DE, параллельную АС. Из подобия треугольников ABC и ADE находим: AB/BD = BC/BE, или AB∙BE = BC∙DB, так как АВ = 1, то BE = BC∙DB = ab.

Естественно, если a—b = x, то мы получаем для x2 геометрическое представление в виде отрезка. Беря затем в качестве сомножителей x2 и x, получаем представления для x3 и т. д.

Проблема однородности вообще была чрезвычайно существенной при становлении классической науки XVI—XVII вв. Ученым приходилось преодолевать традиции античного мышления, которые часто сковывали продвижение вперед. Правила составления отношений требовали, чтобы эти отношения были составлены лишь из однородных величин, причем это требование было обязательным не только в математике, но и в физике. Выше уже говорилось, что для античных и средневековых последователей Аристотеля было совершенно неприемлемым мыслить, скажем, скорость как отношение пути ко времени. Все развитие науки о движении было тесно связано с преодолением традиционной ситуации, когда понятие скорости выводилось интуитивно из отношений путей, проходимых за одинаковое время, или же из отношений времен, затраченных на прохождение одинаковых путей. В математике необходимость оперировать в отношениях лишь с однородными величинами была постулирована у Евклида (V книга «Начал»), и в этом смысле неправомерно, например, рассматривать в алгебре отношение a2/b3, поскольку величина в числителе связывается с плоской фигурой — квадратом, а величина в знаменателе — с пространственной фигурой, кубом. Декарт же, вводя числовые показатели степени, утверждал, что квадрат какой-либо величины не отличается от самой этой величины в том смысле, как геометрическая прямая отличается от геометрического квадрата, а в действительности «корень, квадрат, куб и проч. являются не чем иным, как последовательно пропорциональными величинами, которым всегда предшествует наперед заданная единица» [2, с. 158—159].

Нововведение Декарта можно пояснить следующим образом. Пусть нам дана последовательность отношений: 1/x = x/x2 = x2/x3 = ..., где первое отношение берется между однородными величинами, а остальные также являются однородными, так как получаются из первого умножением на очевидно однородное отношение x/x. Тогда получается, что мерой квадрата, куба и прочих степеней является число отношений, отделяющих их соответственно от выбранной единицы.

Плодотворность этого подхода трудно переоценить. Действительно, ведь античная математика, хотя и устанавливала соответствие между операцией сложения и откладыванием отрезков-слагаемых вдоль прямой линии, она не способна была представить умножение иначе, чем построение прямоугольника со сторонами, равными сомножителям, и в результате произведение отличалось по сути от сомножителей. Теперь же, как было показано, умножение (и аналогично все остальные действия) стало иметь своим результатом величину, однородную с сомножителями, т. е. отрезок, который находится путем отношений. Отсюда вытекает, что каждому отрезку x и многочлену Р(x) с рациональными коэффициентами можно поставить в соответствие другой отрезок y = Р(x). Это утверждение и составляет основу алгебраической геометрии Декарта, которую Лакруа в конце XVIII в. назвал аналитической геометрией.

Легко видеть, что новый подход давал возможность совершенно иной интерпретации алгебраических соотношений. Например, уравнение x2 + y2 = R2 не столько выражало факт равенства площадей трех квадратов, сколько определяло собой окружность радиуса R с центром в начале координат.

Правда, у самого Декарта еще не было прямоугольных координат, которые мы сегодня называем декартовыми (на самом деле это были произвольные косоугольные координаты), хотя остальные обозначения a, b, c (известных величин) и х, у, z (неизвестных величин) принадлежат самому Декарту.

Примером реализации нового подхода Декарта явилась знаменитая проблема Паппа, внимание к которой было привлечено Якобом Голиусом в 1631 г. Коротко проблема состоит в следующем: в плоскости дано п прямых; требуется найти на этой плоскости точку, такую что произведение отрезков, проведенных из этой точки под данным углом к n/2 прямым, находится в данном отношении к произведению таких же отрезков, проведенных к остальным n/2 прямым (для случая четного n; для нечетного n условия задачи несколько усложняются).

Детально рассматривая решение для случая n = 4, Декарт получает также классификацию решений для других значений. Он принимает одну из прямых за ось абсцисс, тогда ординатой искомой точки будет служить отрезок, проведенный из нее на абсциссу под данным углом. Затем Декарт показывает, что отрезок, проведенный из этой точки к любой другой прямой, может быть выражен через комбинацию двух неизвестных в виде αх + βx + γ, где α, β, γ определяются условиями задачи. Отсюда следует, что для данного числа n степень x в уравнении, соответствующем произведению отрезков, не будет превышать n/2, а в большинстве случаев она будет меньше. Поэтому для решения проблемы Паппа в случае 5 или меньшего числа прямых получается квадратное уравнение. Если число линий увеличивается, соответственно увеличивается трудность задачи, которая определяется повышением степени уравнения.

Вторая книга «Геометрии» посвящена подробному рассмотрению кривых, которые являются геометрическими местами точек, представляющих решение проблемы Паппа. В частности, там показывается, что для n ≤ 5 такие кривые являются коническими сечениями. Декарт подчеркивает в этой книге, что уравнение кривой содержит достаточно информации, чтобы определить ее геометрические свойства и характеристики, среди которых наиболее важной является нормаль к любой точке кривой. Поскольку нормаль к кривой в данной точке является перпендикуляром к касательной в этой точке, то правило определения нормалей, данное Декартом, эквивалентно решению задачи о нахождении касательной к кривой; эта последняя играла существенную роль в процессе возникновения дифференциального исчисления.

Рассмотрение уравнений, соответствующих различным кривым, приводит Декарта в третьей книге «Геометрии» к построению теории таких уравнений. Он доказывает сначала утверждение, что любой многочлен Р(x) с действительными коэффициентами может быть представлен в виде Р(x) = (x—a) (x— b)... (x—s), где a, b,..., s — корни уравнения Р(x) = 0. Затем Декарт формулирует основную теорему алгебры, гласящую, что уравнение n-й степени имеет в точности n корней (отметим, что впервые эта теорема была сформулирована А. Жираром в 1629 г.), и тут же предлагает путь ее доказательства.