Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Иэн Стюарт

Физика происходит не в пространстве, а в пространстве-времени, где, согласно Эйнштейну, естественная «плоская» геометрия есть не геометрия Эвклида, а геометрия Минковского. Время входит в формулу для «расстояния» иначе, нежели пространство. Такое геометрическое устройство представляет собой искривленное пространство-время. Оно оказалось именно тем, что заказывал патентный служащий.

Эйнштейн долго бился, изобретая свои уравнения общей теории относительности. Сначала он исследовал, как свет распространяется в гравитационном поле, и это привело его к мысли положить в основу единый фундаментальный принцип — принцип эквивалентности. В ньютоновской механике гравитация проявляет себя как сила, притягивающая все тела друг к другу. Силы вызывают ускорение. Принцип эквивалентности утверждает, что ускорение всегда неотличимо от эффектов, вызванных подходящим гравитационным полем. Другими словами, способ включить гравитацию в теорию относительности состоит в том, чтобы понять ускорение.

К 1912 году Эйнштейн убедился, что теория гравитации не может быть симметричной относительно всех преобразований Лоренца; симметрия такого вида применима точно и повсюду, только когда отсутствует материя, гравитация нулевая, а пространство-время является пространством-временем Минковского. Отбросив это требование «лоренцевой инвариантности», он избежал массы бесплодных усилий. «Единственная вещь, в которую я твердо верил, — писал он в 1950 году, — состояла в том, что в фундаментальные уравнения надо было включить принцип эквивалентности». Но он осознавал и пределы этого принципа: он должен быть верен только локально, как некое инфинитезимальное приближение к истинной теории[62].

В 1907 году друг Эйнштейна Гроссманн стал профессором геометрии в ETH, и Альберт также согласился занять там пост. Ненадолго — через год он уехал в Берлин, а позднее в Прагу. Но он не прерывал контакта с Гроссманном, и это принесло щедрые плоды. В 1912 году Гроссманн помог Эйнштейну осознать, какого типа математику ему следовало искать: «Эта задача оставалась для меня неразрешимой, пока я внезапно не понял, что Гауссова теория поверхностей содержит ключевой элемент для разгадки тайны… Однако я в то время не знал, что Риман исследовал основания геометрии даже на еще более глубоком уровне. Когда я вернулся из Праги в Цюрих, там был мой дорогой друг математик Гроссман. От него я впервые узнал о Риччи, а затем о Римане. Так что я спросил своего друга, можно ли решить мою задачу, применяя теорию Римана».

Риччи — это Грегорио Риччи-Курбастро, который вместе со своим студентом Туллио Леви-Чивитой изобрел анализ на римановых многообразиях. Тензор Риччи дает более простую меру кривизны, чем исходная концепция Римана.

Согласно другим источникам, Эйнштейн сказал Гроссманну: «Ты должен мне помочь, а не то я сойду с ума!» — и Гроссманн исполнил это требование. Как позднее писал Эйнштейн, он «не только избавил меня от изучения соответствующей математической литературы, но и поддержал меня в моем поиске полевых уравнений гравитации». В 1913 году Эйнштейн и Гроссманн опубликовали первые результаты своих совместных усилий, закончив гипотезой о виде искомых полевых уравнений: тензор энергии-импульса должен быть пропорционален… чему-то.

Чему?

Ответа на этот вопрос они пока не знали. Там должен был стоять некий другой тензор, дающий другое измерение кривизны.

Здесь они оба сделали математические ошибки, которые увели их в долгую погоню за несбыточным. И Эйнштейн, и Гроссман были убеждены (вполне справедливо), что их теория должна давать ньютоновскую гравитацию в соответствующем предельном случае — случае плоского пространства-времени, слабой гравитации. Отсюда они получили некоторые технические требования на искомые уравнения, т.е. требования к природе этого самого «чего-то». Но их аргументация была ошибочной, и эти требования на самом деле не следовало предъявлять.

Эйнштейн был уверен, что правильные полевые уравнения должны определять математический вид метрики — формулы для расстояния в пространстве-времени, которая определяет все его геометрические свойства — единственным образом, однозначно. Это было попросту неверно: изменения системы координат могут изменить данную формулу, не оказывая при этом никакого влияния на внутреннюю кривизну пространства. Но Эйнштейн не знал о так называемых тождествах Бьянки, которые проясняют отсутствие единственности; по-видимому, не знал о них и Гроссманн.

Такое состояние — сущий кошмар для каждого ученого: по видимости неопровержимая идея, которая вроде бы ведет в правильном направлении, на деле заводит в ужасные дебри. Устранить такую ошибку отчаянно трудно, ведь вы уверены, что никакой ошибки нет. Часто даже не удается понять, какие именно допущения вы незаметно сделали.

К концу 1914 года Эйнштейн наконец осознал, что полевые уравнения не могут определять метрику единственным образом, потому что имеется возможность выбора различных систем координат: это не влияет на физику, но меняет формулу для метрики. Он все еще не знал о тождествах Бьянки, но теперь они ему были не нужны. Он наконец понял, что имеется свобода в выборе любых координат из соображений удобства.

18 ноября 1914 года Эйнштейн открыл новый фронт в войне с уравнениями гравитационного поля. Он подобрался достаточно близко к окончательной формулировке, чтобы сделать два предсказания. Одно из них — на самом деле скорее «послесказание», в том смысле, что оно было сделано после события. Оно состояло в объяснении тончайших изменений, к тому времени уже наблюдавшихся в орбите Меркурия. Положение перигелия — ближайшего к Солнцу положения планеты — медленно изменяется. Из новой теории гравитации Эйнштейн смог вывести, насколько быстро должен двигаться перигелий, — и результат его вычисления совпал с результатами наблюдений.

Второе предсказание требовало для своего подтверждения или опровержения новых наблюдений; то была прекрасная новость, поскольку новые наблюдения — это лучшая проверка новых теорий. Согласно теории Эйнштейна, гравитация должна изгибать свет.

Геометрия этого эффекта проста и имеет дело с геодезическими — кратчайшими — путями между двумя точками. Если растянуть струну и приподнять ее, она примет вид прямой линии; это происходит потому, что в эвклидовом пространстве прямая линия является геодезической. Если, однако, два конца струны прижать к поверхности футбольного мяча, сильно ее при этом натянув, то она примет форму кривой, лежащей на поверхности мяча. Геодезические линии на искривленном пространстве — мяче — сами искривлены. То же происходит и в искривленном пространстве-времени, хотя подробности слегка отличны.

Физические обстоятельства, в которых этот эффект может проявиться, также «прямолинейны». Звезда, подобная Солнцу, будет изгибать любой свет, проходящий мимо нее. Единственным в то время способом наблюдать этот эффект было дождаться солнечного затмения, когда свет Солнца более не забивает свет от звезды, расположенной на небосводе близко к краю солнечного диска. Если Эйнштейн был прав, то кажущиеся положения таких звезд должны были слегка сдвинуться по сравнению с их положениями, когда они не находятся на одной линии с Солнцем.

Количественный анализ этого явления куда менее прямолинеен. Первая попытка Эйнштейна, предпринятая в 1911 году, предсказывала сдвиг в пределах угловой секунды. Ньютон предсказал бы близкое число, основываясь на своем убеждении, что свет состоит из мельчайших частиц: сила гравитации должна притягивать частицы, вызывая изгиб их траектории. Но в 1915 году Эйнштейн получил результат, в соответствии с которым в его новой теории свет должен отклониться на вдвое больший угол — на 1,74 угловой секунды.

Перспектива выбора между Ньютоном и Эйнштейном стала реальностью. 25 ноября 1914 года Эйнштейн записал свои полевые уравнения в их окончательном виде. Эти уравнения Эйнштейна составляют основу общей теории относительности — релятивистской теории гравитации. Они записываются в математическом формализме, известном как тензоры (некоторым образом нагроможденные друг на друга матрицы). Уравнения Эйнштейна говорят нам, что тензор Эйнштейна пропорционален скорости изменения тензора энергии-импульса[63]. Другими словами, кривизна пространства-времени пропорциональна степени присутствия материи. Эти уравнения подчиняются некоторому принципу симметрии, но он сугубо локален. В малых областях пространства-времени у них те же симметрии, что в специальной теории относительности, при условии, что во внимание принимается локальное влияние кривизны.

Эйнштейн заметил, что сделанные им второстепенные изменения не повлияли на его вычисления движения перигелия Меркурия и отклонения света звезд. Он представил свои уравнения Прусской Академии — и выяснил, что математик Давид Гильберт уже демонстрировал в точности такие же уравнения, но только утверждал, что это нечто намного большее, чем теория гравитации. На самом деле он утверждал, что они включают в себя электромагнитные уравнения, а это было ошибкой. Снова потрясает тот факт, что ведущие математики были предельно близки к тому, чтобы обойти Эйнштейна на финишной прямой.