Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - Эткинз (Эткинс) Питер

Рис. 6.6.Две регулярные структуры, которые можно построить, укладывая вместе твердые сферы (представляющие атомы) насколько возможно плотно. На нижнем уровне (светло-серый) каждая сфера находится в контакте с шестью соседями. Обозначим этот уровень буквой A. На среднем уровне (серый) сферы лежат в углублениях первого уровня. Обозначим этот уровень буквой B. Если сферы следующего слоя (темно-серый) лежат в углублениях второго слоя, которые находятся прямо над сферами первого слоя, образуя структуру ABA, то мы получаем гексагональную систему (в верхней части). Если сферы лежат в углублениях, которые не находятся непосредственно над сферами слоя A, то мы получаем конфигурацию ABC, имеющую кубическую симметрию.

Симметрия элементарных ячеек влияет на механические, оптические и электрические свойства твердых тел. Например, жесткость металла зависит от наличия в нем плоскостей скольжения, которые представляют собой плоскости атомов, которые под действием напряжения, скажем, удара молотком, могут проскальзывать друг относительно друга. Если изучить внимательно слои атомов на рис. 6.6 или элементарные ячейки, то выяснится, что гексагональная структура имеет только одно семейство плоскостей скольжения (они лежат параллельно плоскостям, показанным на иллюстрации), в то время как кубическая структура имеет восемь семейств различно ориентированных плоскостей скольжения. В результате металлы с гексагональной структурой (например, цинк) являются хрупкими, а металлы с кубической структурой (например, медь и железо) являются пластичными — их можно относительно легко сгибать, прокатывать, протягивать и ковать из них различные формы. Электроиндустрия зависит от тягучести меди, а транспортная и строительная индустрии зависят от пластичности железа.

Как мы видели в других контекстах, бывает всегда забавно, а иногда и полезно, расширять наше воображение до более высоких размерностей. Это расширение иногда существенно важно, как в случае, когда мы рассматриваем четыре измерения пространства-времени. Тогда возникает вопрос, сколько узоров может быть обнаружено в пространствах более высоких размерностей. Математики исследовали этот вопрос. В четырехмерном пространстве существуют «всего» 4783 пространственные группы, поэтому пятимерные существа (которым нужны четырехмерные обои для украшения своих гиперкубических комнат) найдут гораздо более широкое разнообразие узоров в своих обойных гипермаркетах, чем мы, существа трехмерные.

Не все симметрии очевидны, и именно поэтому я хочу подтолкнуть вас к тому, чтобы вы приобрели способность оценивать красоту более высоких абстракций. С этого момента наше обсуждение неизбежно становится более абстрактным, а понятия более трудно представимыми визуально; но мы будем пускать в обращение эти замысловатые трудности постепенно и с осторожностью, и вы с удовольствием обнаружите, что все можете понять. Здесь мы увидим, что симметрия больше не является наглядной, но зато становится могущественной, ибо она является источником законов. Симметрия ведет.

Мы уже видели пример ведущей и контролирующей роли симметрии. Мы видели в главе 3, что сохранение энергии является следствием однородности времени. Следствием того, что время является гладким, не состоящим из кусков — более формально, время является трансляционно инвариантным, — является то, что энергия сохраняется. Мы видели также, что сохранение импульса является следствием гладкости пространства — того, что пространство трансляционно инвариантно при отсутствии сил — и что сохранение момента импульса является следствием изотропности пространства — того, что пространство инвариантно относительно вращений при отсутствии вращающих моментов. Отсутствие кусковатости у пространства и времени является проявлением их симметрии, поэтому мы видим, что эти могущественные законы сохранения вытекает из симметрии. Эмми Нётер (1882-1935), наиболее выдающаяся и авторитетная из когда-либо родившихся на свет женщина-математик, установила результат огромной важности, известный теперь, как теорема Нётер, о том, что там, где существует симметрия, всегда есть соответствующий ей закон сохранения.

Некоторые симметрии скрыты от прямого наблюдения, но все равно имеют соответствующие им следствия. Теперь все, что я попрошу вас делать, это отмечать совпадения и задавать себе вопрос, не являются ли они следствием симметрии. Знаком того, что под поверхностью явлений скрывается симметрия, является точное равенство энергий различных конфигураций частиц: если две конфигурации связаны преобразованием симметрии, то энергия этих двух конфигураций одинакова. Мы столкнулись с особенно подходящим примером в главе 5, когда увидели, что в атоме водорода энергия электрона, который находится на s-орбитали, является точно такой же, как энергия электрона, находящегося на p-орбитали той же оболочки. s-орбиталь является сферической, а p-орбиталь имеет две доли, поэтому, хотя легко увидеть, что p-орбиталь можно повернуть и получить другую p-орбиталь, совсем не очевидно, что p-орбиталь можно повернуть так, чтобы получить s-орбиталь. Я уже упоминал, что потенциальная энергия — энергия, связанная с положением электрона в электрическом поле ядра, так называемая кулоновская потенциальная энергия— является в некотором специальном смысле красивой, и теперь я могу объяснить, что я имею в виду.

Кулоновская потенциальная энергия сферически симметрична. То есть, куда бы мы ни поместили электрон на заданном расстоянии от ядра — на северном или южном полюсе, на экваторе или где-нибудь между ними — его потенциальная энергия будет в точности той же самой. Потенциальная энергия меняется с расстоянием от ядра, но при заданном расстоянии она независима от угла. Эта сферическая симметрия говорит нам, что преобразования симметрии атома включают вращения на любой угол относительно  любой оси, в точности как симметрические операции для сферы. Раз это так, три p-орбитали могут быть переведены одна в другую преобразованием симметрии сферы, поэтому их энергии одинаковы. Однако все еще кажется, что мы не можем перевести поворотом s-орбиталь в p-орбиталь.

Вот необычайный факт: кулоновская потенциальная энергия великолепна, в том смысле, что она имеет вращательную симметрию не только в трех измерениях (как мы уже видели), но также и в четырех. Эта более высокая симметрия означает, что в четырех измерениях может существовать вращение, которое превращает трехмерную s-орбиталь в трехмерную p-орбиталь. Если это так и мы можем вращением превращать различные орбитали друг в друга, то они будут иметь одинаковую энергию.

Я понимаю, что, ожидая от вас мышления в четырех измерениях, я перешел бы границы дозволенного (по крайней мере, пока мы не доберемся до главы 9) и сейчас не стану требовать от вас этого. В качестве компенсации я использую простую аналогию. Представьте себе сферу, покоящуюся на плоскости. Плоскость представляет наш трехмерный мир, а сфера представляет четырехмерный мир, только проекция которого нам видна. Предположим, что мы окрасили северную половину сферы в черный цвет, а южную половину в белый. Мы можем провести линию от северного полюса и спроецировать с ее помощью поверхность сферы на плоскость. Эта проекция окрашенной сферы имеет вид круга (рис. 6.7). Затем повернем сферу на 90° в положение, показанное во второй части иллюстрации. Новая проекция делит плоскость на две половины, черную и белую. Другая ориентация сферы показана в третьей части иллюстрации и имеет такую же проекцию, но повернутую на 90°. Мы, плоскомирцы, находим вполне правдоподобным, что вторая и третья проекции связаны вращением, поэтому мы не удивляемся, что эти « p-орбитали» имеют одинаковую энергию. Однако, нас поистине озадачит тот факт, что их можно преобразовать в первую, круглую форму, поэтому мы не можем понять, что « s-орбиталь» имеет такую же энергию, как и две p-орбитали. У наблюдателя из трех измерений нет таких хлопот: этот наблюдатель видит, что все наши картинки из Плоскомирья, как проекции сферы, связаны простым вращением. Точно такие же соображения приложимы к орбиталям атома водорода, и мы видим, что равенство энергий у не связанных с виду орбиталей является следствием их симметрии, спрятанной в четвертом измерении.