Загадки египетских пирамид - Жан-Филипп Лауэр

Рис. 39

По нашему мнению, астрономия при сооружении пирамид, за исключением их ориентировки, могла применяться лишь в ограниченных и достаточно гипотетических случаях. Однако бесспорно, что египтяне уже с эпохи строительства пирамид обладали некоторыми астрономическими представлениями, опирающимися на тысячелетние наблюдения за движением Солнца, Луны, планет («неутомимых»), звезд («вечных») и различных созвездий. Луна, по которой считали месяцы, в Египте в противоположность другим странам не привлекала к себе такого внимания астрономов, как Солнце и особенно звезды. Основная особенность египетской астрономии — это ее звездный характер. В частности, установление календаря — в эпоху, по-видимому, очень давнюю — основывается на точных наблюдениях годичного пути Солнца и положения Сотиса (Сириуса) по отношению к нему274. Равным образом имена декан, упоминаемые в Текстах пирамид, по-видимому, указывают, что цикл декан, позволяющий определять часы в ночное время, был уже в эту эпоху известен275.

Рис. 40

Однако эти бесспорно замечательные наблюдения совершенно не доказывают, что египетские астрономы в эпоху строительства пирамид имели хотя бы малейшее представление о сферичности земного шара или о его движении вокруг Солнца. Для них Земля, олицетворенная в боге Гебе, была плоской, а под ней и в тесной взаимосвязи с нею находились адские глубины Дуата. Сверху, над Землей, небесный свод, поддерживаемый Шу, богом воздушного пространства, изображался в виде коровы или же в виде согнутой богини Нут, руки и ноги которой ограничивали пределы Земли (рис. 40). Солнечная ладья бога Ра, а также планеты, отождествляемые с божествами, плавали в небесном потоке вдоль тел обоих богов. Богиня Нут создавала таким образом для них небесный путь. Каждое утро она рождала Солнце, а вечером, завершив свой путь, Солнце исчезало у богини во рту и опускалось в адские пучины.

Даже принимая во внимание мифологические аллегории, мы все же видим, что представления египтян о мироздании были весьма далеки от наших. Кроме того, астрономические знания не являлись общим достоянием. Тесно связанные с мифологией, стремившейся установить зависимость между божествами, или потусторонними духами, и планетами, знания эти имели безусловно тайный характер. Обладателями их были лишь некоторые посвященные лица, возглавлявшие египетское жречество, и их приверженцы. В частности, в эпоху строительства пирамид главенствующую роль, по-видимому, играло жречество Гелиополя. Такое положение установилось во времена фараона III династии — Джосера, когда знаменитый Имхотеп, главный жрец Гелиополя и вместе с тем первый министр, выступал как главный архитектор при строительстве ступенчатой пирамиды и сооружений, расположенных внутри ее ограды. Во времена правления следующих династий это преобладание жречества Гелиополя, провозгласившего культ своего солнечного бога, еще более усилилось. Бог Солнца Ра, на происхождение от которого будут претендовать все фараоны, становится могущественнее Птаха, бога столицы — города Мемфиса, а также самого Осириса, или Анубиса, — повелителя царства мертвых — во всяком случае во всем, что относится к погребальному культу царей.

Таким образом, нет никаких оснований сомневаться в том, что жрецы-архитекторы обладали знаниями в области астрономии, особенно ярко проявившимися в ориентировке и планировке больших пирамид. Мы можем лишь выразить наше глубокое восхищение виртуозностью, с которой эти замечательные строители сумели приложить свои знания к разрешению сложных практических и технических задач, вызванных осуществлением на практике таких гигантских сооружений.

Изучение пирамид, с математической точки зрения, и особенно Великой пирамиды, открывает нам замечательные геометрические свойства, а также и некоторые численные соотношения, заслуживающие внимания. Но главная наша задача заключается в том, чтобы установить, в какой степени строители осознавали эти особенности. В частности, не ими ли, например, определялся выбор угла наклона, приданного пирамиде Хеопса? Или, наоборот, этот угол был избран в результате соображений чисто технического или практического порядка, которые неожиданно натолкнули на форму пирамиды, таящую в себе еще неизвестные свойства? Оба предположения выдвигались в течение многих лет, но, по-видимому, только теперь у нас появились данные, позволяющие решить этот вопрос.

Рис. 41

Многие из геометрических соотношений, о которых идет речь, были известны еще в древности. Так, Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, сообщает, что соотношение между длиной стороны основания и высотой Великой пирамиды такового, что квадрат, построенный на высоте пирамиды, равен площади каждой из ее сторон. Свойство это выражается равенством: h2 = bx, где h обозначает высоту пирамиды, b — половину стороны ее основания, а x — апофему (рис. 41).

Это свойство может быть выражено так: «В прямоугольном треугольнике, который образован половиной среднего вертикального сечения пирамиды и гипотенуза которого служит одной из апофем, а одна из сторон, прилежащих к прямому углу, является высотой пирамиды, гипотенуза так относится к большему катету, как последний относится к меньшему катету»; т. е. х/h = h/b, откуда h2 = bx (равенство Геродота).

Отношение золотого сечения между плоскостями пирамиды, установленное Клеппишем и приведенное выше, является также непосредственным следствием равенства Геродота. Согласно Клеппишу, площадь основания пирамиды S так относится к сумме площадей ее боковых граней S1, как эта сумма относится к полной поверхности пирамиды St, т. е.

Так как квадрат основания и все треугольники имеют общее основание 2b, то достаточно написать пропорцию между половинами высот, т. е.

откуда b2 + bx — x2 = 0.

Следовательно, исходя из равенства Геродота h2 = bх и теоремы Пифагора, дающей для треугольника SHA h2 = x2 — b2 находим то же самое уравнение b2 + bx — x2 = 0, откуда получаем x/b = (1 + √5)/2 = 1,618 = Φ, т. е. отношение золотого сечения, численное значение которого выражается константой Φ = 1,618, известной под названием «золотого числа».

Таким образам мы устанавливаем, что «золотое число» представлено в пирамиде отношением между апофемой и половиной стороны ее основания, что отметил еще Г. Ребер в 1855 г., т. е. выражением намного более простым, чем то, которое указывал Клеппиш. Свойства золотого сечения встречаются в любой пирамиде, имеющей соотношения, приведенные Геродотом. Нам остается лишь доказать, что эти соотношения свойственны Великой пирамиде.

Основные размеры, принятые для Великой пирамиды и исчисленные в египетских царских локтях по 0,524 м каждый (с избытком), составляют 440 локтей для стороны основания и 280 локтей для высоты пирамиды. Это дает в половине ее сечения по апофеме (т. е. в треугольнике SHA) простое отношение h/b=280/220=14/11, которое египтяне, следуя своему методу, выражали через b = 22 пальцам или, вернее, b = 5 пальмам + 2 пальца. Принимая за единицу измерения длины 1/11b, мы получаем b = 11, а из формулы h = b√((1+√5)/2), выведенной согласно теореме Пифагора и равенству Геродота, h = 13,992, т. е. 14 с точностью до нескольких тысячных.

С другой стороны, это отношение (14/11) дает сторонам пирамиды угол наклона в 51°50′35″, а отношение, о котором пишет Геродот, — 51°49′42″ с отклонением примерно в 1′. Совершенно очевидно, что поверхность облицовки пирамиды в действительности не была совершенно гладкой. Будучи слегка волнистой, она давала местами значительно большее отклонение, чем указанное минимальное. Следовательно, мы вправе задать себе вопрос: можно ли было с простейшими инструментами египтян достигнуть в подобном случае точности, превышающей четверть или треть нашего градуса, т. е. 15 или 20′? Таким образом, точность значения отношения Геродота, из которого вытекают свойства золотого сечения, очень высока.

Что же касается отношения я, то мы приводим два наиболее часто упоминаемых: «Отношение периметра основания Великой пирамиды к ее удвоенной высоте равно π, и отношение площади ее основания к площади среднего сечения равно π».

Поскольку стороны пирамиды являются треугольниками одинаковой высоты, оба отношения приводятся к одному.