Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Стюарт Иэн

Это было существенным шагом вперед, поскольку неточные картинки, тем самым, заменялись строгим анализом. Позднее математики предприняли энергичные усилия, чтобы пройти путь, намеченный Гамильтоном, в обратном направлении и снова ввести в обиход наглядные образы. Но формальный алгебраический подход стал к тому моменту неотъемлемой частью математического мышления и мог оставаться естественным спутником более наглядных аргументов. Колесо моды сделало полный оборот, но на более высоком уровне, подобно спиральной лестнице.

Великим вкладом Гамильтона в оптику было объединение. Все огромное многообразие известных результатов он свел к одному фундаментальному методу. Вместо системы световых лучей он ввел одну-единственную величину, «характеристическую функцию» системы. С ее помощью любая оптическая конфигурация представлялась одним уравнением. Более того, это уравнение можно было решить единообразным способом, что давало полное описание всей системы лучей и ее поведения. Метод Гамильтона основывался на одном фундаментальном принципе: световые лучи, проходящие через любую систему зеркал, призм и линз, выбирают путь, распространение по которому до цели занимает наименьшее время.

Ферма еще ранее обнаружил некоторые специальные случаи этого принципа, назвав его принципом наименьшего времени. Простейший пример, позволяющий объяснить его работу, — это отражение света от плоского зеркала. Левый рисунок показывает, как световой луч, выходя из одной точки и отражаясь от зеркала, достигает второй точки. Одним из великих открытии на заре оптики был закон отражения, который гласит, что две части светового луча составляют с зеркалом равные углы[37].

Как принцип наименьшего времени приводит к закону отражения.

Ферма придумал изящный прием: отразить в зеркале второй участок луча, а заодно и вторую точку, как показано на правом рисунке. Благодаря Эвклиду условие «равных углов» — это то же самое, что утверждение, что в этой «отраженной» картине путь от первой точки до второй является прямой линией. Но Эвклид доказал тот знаменитый факт, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Поскольку скорость света в воздухе постоянна, кратчайшее расстояние означает то же самое, что наименьшее время.

Возвращаясь к геометрии на левом рисунке, мы видим, что выполнено то же самое утверждение. Таким образом, условие равных углов логически эквивалентно тому факту, что световой луч выбирает путь с наименьшим временем распространения из первой точки во вторую при условии, что по дороге надо отразиться от зеркала.

Связанный с этим принцип — закон преломления Снеллиуса — говорит о том, как «ломается» луч при переходе из воздуха в воду и вообще из одной среды в другую. Этот закон можно вывести подобным же образом, если учесть, что свет распространяется в воде медленнее, чем в воздухе. Гамильтон пошел еще дальше, утверждая, что тот же принцип минимизации времени применим ко всем оптическим системам, и воплотив эту мысль в едином математическом объекте — характеристической функции.

Использованная здесь математика впечатляла, но в руках Гамильтона она привела к немедленной экспериментальной отдаче. Гамильтон заметил, что из его метода следовало существование «конического преломления», когда один луч света при попадании на подходящий кристалл выходит из него в виде целого конуса лучей. В 1832 году это предсказание, неожиданное для всех кто работал в оптике, получило прочное экспериментальное подтверждение, когда Хэмфри Ллойд использовал кристалл арагонита. На следующее утро Гамильтон проснулся знаменитым.

К 1830 году Гамильтон озаботился тем, чтобы обзавестись семьей; он подумывал жениться на Элен де Вер, умом которой как он говорил Вордсворту, он восхищался. Ей он тоже писал письма в стихах и был готов уже сделать предложение, когда она заявила ему, что никогда не уедет из своей родной деревни Карра[38]. Он воспринял это как тактичный отказ — весьма вероятно, что обоснованно, поскольку через год она вышла за кого-то замуж и все же уехала.

В конце концов он женился на Элен Бейли — местной девушке, жившей неподалеку от обсерватории. Гамильтон описывал ее как «далеко не блестящую». Медовый месяц был ужасен: Гамильтон занимался оптикой, а Элен болела. В 1834 году у них родился сын Уильям Эдвин. Затем Элен уехала на большую часть года. Второй сын Арчибальд Хенри появился на свет в 1835-м, но брак уже трещал по швам.

В глазах потомства величайшим открытием Гамильтона была сформулированная им оптико-механическая аналогия. Но сам он до самой смерти — причем с все возрастающим упорством — отдавал пальму первенства вещи совершенного другого сорта — кватернионам.

Кватернионы представляют собой некоторую алгебраическую структуру, находящуюся в близком родстве с комплексными числами. Гамильтон был убежден, что они содержат в себе ключ к глубочайшим областям физики, а на склоне жизни убедил себя, что в них содержится ключ буквально ко всему. История, похоже, не согласилась с этой оценкой, и в течение следующего столетия кватернионы медленно тускнели, пропадая из поля общественного интереса, превратившись в тихую заводь абстрактной алгебры без серьезных применений.

Совсем недавно, однако, кватернионы пережили возрождение. И даже если они никогда не займут того положения, которое прочил им Гамильтон, их чем дальше, тем больше рассматривают как значимый источник важных математических структур. Кватернионы оказались очень специальным явлением — как раз настолько специальным, насколько этого требуют современные физические теории.

Сразу после открытия кватернионы произвели мощный переворот в алгебре. Они нарушили одно из важных алгебраических правил. На протяжении периода в двадцать лет чуть ли не все правила алгебры нарушались одно за другим, что иногда приносило богатейшие плоды, но ничуть не реже приводило в бесплодные тупики. То, что математики середины 1850-х годов воспринимали как не подлежащие изменениям правила, оказалось просто набором удобных допущений, облегчавших жизнь алгебраистам, но не всегда отвечавших более глубоким потребностям самой математики.

В этом прекрасном новом «постгалуавском» мире алгебра уже не сводилась к простому использованию в уравнениях букв вместо чисел. Алгебра имела дело с глубокой структурой уравнений — не с числами, а с процессами, преобразованиями, симметриями. Эти радикальные перемены изменили лицо математики. Она стала более абстрактной, но одновременно и более общей, и более мощной. А также приобрела зачаровывающую, порой сверхъестественную красоту.

До того как болонские математики эпохи Возрождения задались вопросом о том, имеется ли смысл в квадратном корне из минус единицы, все появляющиеся в математике числа принадлежали одной системе. Даже сегодня, в качестве наследия исторической путаницы во взаимоотношениях математики и реальности, эта система известна как вещественные числа. Название не слишком удачное, потому что оно предполагает, что эти числа некоторым образом принадлежат к ткани вселенной, а не порождены человеком в попытке понять ее структуру. Но это не так. Эти числа не более вещественны, чем любые другие «числовые системы», созданные человеческим воображением за последние 150 лет. Правда, они имеют более непосредственное отношение к реальности, чем большинство новых систем. Они очень точно соответствуют идеализированному измерению.

Вещественное число по сути представляет собой десятичную дробь. Дело не в конкретной выбранной системе записи — которая создана просто для удобства вычислений с числами, — а в тех более глубоких свойствах, которые присущи десятичным дробям. Вещественные числа произошли от предшественников попроще, с меньшими амбициями. Сначала человечество тащилось по направлению к системе «натуральных чисел» 0, 1, 2, 3, 4 и так далее. Я сказал «тащилось», потому что на начальном этапе некоторые из этих чисел числами вовсе не считались. Было время, когда древние греки отказывались считать 2 числом; оно было слишком маленьким, чтобы демонстрировать «численность», типичную для других чисел. Числа тогда начинались с 3. В конце концов было осознано, что 2 — число в той же мере, что и 3, 4 или 5, но затем камнем преткновения оказалась единица. В самом деле, если кто-то говорит про себя, что у него имеется «некоторое число коров», а вы обнаруживаете, что у него одна-единственная корова, то не будет ли он повинен в вопиющем преувеличении? «Число», без сомнения, означало «множественность», в которой нет места единичности.