Наука Плоского Мира III: Часы Дарвина - Терри Пратчетт

.. и так далее. Но у управляющего появляется блестящая идея. На бесконечно большой парковке около бесконечно большого отеля он распределяет всех новых гостей в виде бесконечно большого квадрата: Al A2 A3 A4 A5…

Б1_Б2_Б3_Б4_Б5…

В1_В2_В3_В4_В5…

Г1_Г2_Г3_Г4_Г5…

E1_E2_E3_E4_E5…

Затем он выстроил их в одну бесконечно длинную прямую, в порядке А1-А2 Б1- А3 Б2 В1 — А4 Б3 В2 Г1 — А5 Б4 В3 Г2 Е1…

Чтобы понять смысл, посмотрите на диагонали, идущие из правого верхнего угла в левый нижний. Мы использовали дефисы, чтобы их разделить. Большинство людей предпочтет снова переселить уже живущих постояльцев в четные номера и заполнить нечетные новоприбывшими. Это сработает, однако есть и более элегантный метод, и управляющий, будучи математиком, немедленно его находит. Он загружает всех обратно в бесконечный автобус фирмы, распределяя места в порядке их следования в линии. Это оставляет только одну проблему, которая уже была решена ранее[62].

Отель Гилберта призывает нас к осторожности, когда мы делаем предположения относительно бесконечности. Она может быть не похожей на обычное конечное число. Если вы добавите к бесконечности единицу, она не станет больше. Если вы умножите бесконечность на бесконечность она всё равно не станет больше. Вот что такое бесконечность. Фактически проще сделать вывод о том, что любое действие с бесконечностью будет равняться бесконечности, потому что вы не сможете получить ничего больше чем бесконечность.

Вот как все считали, и это действительно так, но только если все ваши потенциальные бесконечности состоят из конечного числа шагов, которые вы делаете бесконечно долго.

Но в 1880 году Кантор поразмыслил о фактических бесконечностях и открыл ящик Пандоры с бесконечностями всех размеров. Он назвал их трансконечными числами и обнаружил их когда работал в классической, традиционной области анализа. Они были чертовски сложными штуками и привели его в ранее неизведанные закоулки. Погрузившись в глубокие размышления о природе этих вещей, Кантор отвлёкся от своей работы в совершенно респектабельной области анализа, и начал думать о более сложных вещах.

О подсчете.

Обычный способ знакомства с числами — это научить детей считать. Они узнают, что числа это «штуки, которые используются для счёта». Вот к примеру «семь» это там где вы окажетесь если начнёте считать с понедельника до воскресенья. Так что количество дней в неделе равно семи. Но что за зверь это «семь»? Слово? Нет, потому что вместо него можно использовать символ 7. Символ? Но тогда вместо него есть слово, и в любом случае, в какой-нибудь Японии используется совсем другой символ. Так что же такое семь? Легко сказать что такое семь дней, семь овец или семь цветов радуги… но что само по себе значит число? Вы вряд ли сталкивались с явной семёркой, она всегда соотносится с некой совокупностью вещей.

Кантор решил превратить нужду в добродетель и заявил, что число — это что-то, имеющее отношение к набору или скоплению вещей. Вы можете собрать набор из вообще любой коллекции вещей. Интуитивно понятно, что номер, который вы получите во время подсчета показывает, сколько вещей принадлежат к этому набору. Количество дней в неделе определяется числом «семь». Удивительная особенность подхода Кантора заключается в следующем: вы можете узнать, находятся ли в другом наборе семь предметов без каких-либо подсчетов. Для этого вам лишь нужно соотнести члены наборов друг с другом так, чтобы каждому члену из первого набора был подобран элемент из второго. Если, к примеру, второй набор — это цвета спектра, то наборы будут соотнесены таким образом: понедельник — красный, вторник — оранжевый, среда — желтый, четверг- зеленый, пятница — голубой, суббота — фиолетовый[63], воскресенье — октариновый.

Порядок, в котором вещи будут пронумерованы абсолютно неважен. Но нельзя соотносить вторник сразу и с фиолетовым, и с зеленым, или зеленый и со вторником, и с воскресеньем. Или пропускать некоторые элементы.

К примеру, вы попадете в беду, если захотите соотнести дни недели со слонами, на которых стоит Диск: воскресенье- Берилия, понедельник- Тьюбул, вторник- Великий Т’Фон, среда-Джеракин, а четверг?

Точнее, у вас кончатся слоны. Даже если мифический пятый слон возьмет на себя четверг.

В чем разница? Ну, в неделе семь дней, а в спектре семь цветов, поэтому вы можете соотнести эти два множества. А вот слонов у вас всего четыре (ну, может, пять), а четыре или пять никак нельзя приравнять к семи.

Глубокий философский смысл здесь в том, что вам не нужно знать чисел четыре, пять и семь, чтобы обнаружить что нет никакого способа соотнести эти два множества. Разговор о величине цифр подобен размахиванию кулаками после драки. Соотнесение логически первостепенно по отношению к счёту.[64]

Пока что ничего нового. Но соотнесение имеет смыл не только для конечных множеств, но и для бесконечных. Вы даже можете соотнести четные числа с остальными:

2 1

4 2

6 3

8 4

10 5 и так далее. Подобные соответствия объясняют происходящее в отеле Гилберта. Вот как у Гилберта появилась идея (помните, крыша вперед фундамента).

Какое же кардинальное число соответствует всем числам (и, соответственно, любого множества, которое можно с ним соотнести)? Классическое название это «бесконечность». Однако Кантор, будучи осторожным, предпочел название, которое не так сильно цепляло внимание, поэтому в 1883 году он дал ему имя «Алеф» — по первой буква еврейского алфавита, и подписал под ней небольшой ноль, по причинам, которые выяснились довольно скоро: Алеф-нуль.

Он знал что именно он начал:

«Я точно знаю, что выбрав такую процедуру я противопоставил свою позицию широко распространённому мнению относительно бесконечности в математике и текущим взглядам на природу числа. " Он получил то, что и ожидал: много критики и особенно от Леопольда Кроникера. «Бог создал целые числа: всё остальное — дело рук человеческих» — заявлял Кроникер.

Сейчас, правда, большинство их нас думает, что и целые числа создал человек.

Зачем тогда вводить новый символ? (тем более еврейский). Если бы по мнению Кантора существовала только одна бесконечность, он смело назвал бы её просто «бесконечность» и использовал бы классический символ перевёрнутой восьмёрки. Он быстро понял, что согласно его точки зрения, могут существовать и другие бесконечности, а он вполне вправе назвать их альф-один, алеф-два, алеф-три и так далее.

Как же могут существовать другие бесконечности? Это является большим и неожиданным последствием неразвитой идеи соотнесения. Чтобы объяснить как это происходит, в каком-то смысле нам нужно будет поговорить о действительно больших числах. Конечных и бесконечных. Чтобы убедить вас в том, что все они белые и пушистые мы введем простую условность.

Если n обозначает любое число любого размера, тогда n-плекс обозначает 10 в степени n, что означает единицу с n нулями. Так что 10 в степени 2 это 100, 10 в шестой степени это 1000 000, миллион; 10 в девятой степени это миллиард. Когда степень равна 100, то мы получает гугл. Таким образом гуглплекс можно описать как 10 в степени гугл.

Подобно Кантору можно легко представить 10 в степени бесконечность. Но давайте быть точнее: как быть с алеф в степени ноль? Что такое 10 в степени алеф-ноль?

Примечательно что оно имеет совершенно разумное значение. Это кардинальное число множества всех действительных чисел — чисел которые могут быть представлены в виде бесконечной десятичной дроби. Вспомним эфебского философа Фтагонала, который знаменит высказыванием «Диаметр делит окружность. тогда соотношение должно равняться трём. Но так ли это? Нет. Три, запятая, один, четыре и куча других цифр после запятой. И нет числа этим чёртовым числам.» Конечно это отсылка к самому знаменитому из вещественных чисел — числу Пи, которое нуждается в бесконечном количестве знаков после запятой, чтобы оценить его точность. Округлённое до одного знака после запятой, оно равно 3,1. Округлённое до двух знаков после запятой оно равно 3,14. До трёх — 3,141. Так до бесконечности.

Кроме Пи, существует множество других вещественных чисел. Насколько велико фазовое пространство всех вещественных чисел?

Подумайте о знаках после запятой. Если мы рассматривает один знак, то для него есть 10 возможных вероятностей: любое из чисел от 0 до 9. Если мы рассматриваем два знака после запятой, то для него есть 100 вероятностей: от 00 до 99. Если мы рассматриваем три знака после запятой, тогда для него существует 1000 вероятностей: от 000 до 999.

Закономерность понятна. Если мы рассматриваем n знаков после запятой, тогда существует 10 в степени n вероятностей. А это n-плекс.

Если знаки после запятой могут продолжаться «вечно», первым делом нужно спросить какого вида «вечность» имеется ввиду. И ответом является алеф-ноль Кантора, потому что в нём есть первый знак после запятой, второй, третий. эти места соответствую целым числам. Так что если всё множество чисел n равно аллеф-нолю, мы обнаружим, что кардинальное число этого множества всех вещественных чисел (не принимая внимания знаки после запятой) равно 10 в степени алеф-ноль. То же самое верно в силу более сложных причин, если мы не будем учитывать все знаки после запятой.[65]