Кибернетика или управление и связь в животном и машине - Норберт Винер

           (4.49)

Эту кривую можно записать как

           (4.50)

[c.175]

но на этот раз при изменении y от —∞ до ∞ u также изменяется от —∞ до ∞, а кривая наша обходится в направлении от у=—∞ до у=∞. Внешняя область кривой находится слева от нее, и возможно неограниченное усиление.

Для достижения этого результата можно применить вторую ступень обратной связи. Если положение клапанов рулевой машины регулируется не расхождением между действительным и желательным курсом, а разностью между этой величиной и угловым положением руля, то при достаточно большой обратной связи (т. е. когда клапаны открыты достаточно широко) будет поддерживаться с любой точностью пропорциональность между угловым положением руля и отклонением корабля от истинного курса. Система управления с двойной обратной связью обычно и применяется для автоматического управления кораблем при помощи гирокомпаса.

В человеческом теле движение руки или пальца связано с большим числом суставов. Выходное усилие равно векторной комбинации выходных усилий всех этих суставов. Мы видели, что, вообще говоря, сложную аддитивную систему такого рода нельзя стабилизировать одной обратной связью. Поэтому обратная связь произвольного движения, при помощи которой мы регулируем выполнение задачи, наблюдая, насколько та еще не выполнена, должна быть поддержана другими обратными связями. Последние называются обратными связями позы и служат общему поддержанию тонуса мышечной системы. Именно обратная связь произвольного движения и подвержена нарушениям и расстройствам при повреждении мозжечка, ибо следующий за этим тремор появляется только тогда, когда больной пытается выполнить произвольное действие. Этот интенционный тремор, при котором больной не может взять стакан воды, не опрокинув его, весьма отличен по природе от тремора при паркинсоновской болезни, или дрожательном параличе. Тремор при паркинсоновской болезни проявляется наиболее типично, когда больной неподвижен, и часто, по-видимому, значительно ослабляется, когда больной пытается выполнить сознательно контролируемые действия. Встречаются хирурги с паркинсоновской болезнью, которые неплохо [c.176] справляются с операциями. Паркинсоновская болезнь, как известно, имеет причину не в болезненном состоянии мозжечка, а связана с патологическим очагом где-то в стволе мозга. Это лишь одна из болезней обратных связей позы, и многие из таких болезней происходят от повреждений частей нервной системы, расположенных весьма разнообразно. Одна из важных задач физиологической кибернетики — распутать и локализировать различные части этого комплекса обратных связей произвольных действий и поз. Примерами составных рефлексов такого рода служат чесальный рефлекс и рефлекс ходьбы.

Когда обратная связь возможна и устойчива, то, как мы уже говорили, она даст ту выгоду, что делает поведение системы менее зависимым от нагрузки. Допустим, что нагрузка изменяет характеристику А на dА. Относительное изменение равно dA/A. Если оператор после обратной связи имеет вид

           (4.51)

то мы получим[151]

           (4.52)

Таким образом, обратная связь позволяет уменьшить зависимость системы от характеристики двигателя и стабилизировать ее для всех частот, для которых

           (4.53)

То есть вся граница между внутренними и внешними точками должна лежать внутри круга с радиусом С и центром в точке — С. Это не будет выполняться даже в первом из рассмотренных нами случаев. Эффект сильной отрицательной обратной связи, если она устойчива, состоит в увеличении устойчивости системы при низких частотах, однако большей частью за счет ее устойчивости при тех или иных высоких частотах. Тем не менее [c.177] во многих случаях оказывается выгодной даже такая степень стабилизации.

Рассмотрение колебаний, вызванных чрезмерной обратной связью, поднимает весьма важный вопрос о частоте начинающегося колебания. Последняя определяется значением y в iy, соответствующим той точке границы между внутренней и внешней областями кривой (4.17), которая будет самой левой на отрицательной оси u. Величина y, очевидно, имеет размерность частоты.

Мы пришли к концу нашего элементарного исследования линейных колебаний с точки зрения обратной связи. Линейная колебательная система обладает весьма специальными свойствами, характеризующими ее колебания. Одно из них заключается в том, что такая система всегда может и большей частью — при отсутствии независимых одновременных колебаний — будет совершать колебания вида

           (4.54)

Существование периодического несинусоидального колебания всегда указывает по меньшей мере на то, что система нелинейна относительно наблюдаемой переменной. В некоторых, хотя и весьма немногих, случаях систему можно сделать линейной, выбрав другую независимую переменную.

Другое весьма значительное различие между линейными и нелинейными колебаниями заключается в том, что в первом случае амплитуда совершенно не зависит от частоты, а во втором обычно существует лишь одна амплитуда или самое большее дискретное множество амплитуд, с которыми система будет колебаться на данной частоте, как и дискретное множество частот, на которых возможны колебания. Это хорошо иллюстрируется изучением процессов, которые имеют место в органной трубе. Существует две теории органной трубы: приближенная линейная и более точная нелинейная. В первой органная труба трактуется как консервативная система. Вопрос о том, как труба приходит в колебание, не ставится, и уровень колебания остается совершенно неопределенным. Во второй теории считают, что колебания органной трубы рассеивают энергию, которая создается воздушным потоком, проходящим через [c.178] отверстие трубы. Теоретически возможен стационарный воздушный поток через отверстие трубы, не обменивающийся энергией ни с одной из форм колебания трубы, но при определенных скоростях воздушного потока стационарное состояние является неустойчивым. Малейшее случайное отклонение приводит к переходу энергии от воздушного потока к одному или нескольким собственным линейным колебаниям трубы, причем до известного момента это отклонение усиливает связь собственных колебаний трубы с источником энергии. Приток энергии и ее утечка вследствие теплового рассеяния и других причин происходят по разным законам, но при устойчивом режиме колебаний обе величины должны совпадать. Этим определяется как амплитуда, так и частота нелинейного колебания.

Рассмотренный случай служит примером так называемых релаксационных колебаний, когда система уравнений, инвариантных относительно сдвига во времени, дает решение, периодическое во времени или соответствующее некоторому обобщенному понятию периодичности и обладающее определенной амплитудой и частотой, но неопределенной фазой. В данном случае частота колебания системы близка к частоте некоторой слабо связанной, приблизительно линейной части системы. Б. ван дер Поль, один из главных авторитетов по релаксационным колебаниям, нашел, что это не всегда так и что возможны релаксационные колебания, у которых преобладающая частота далека от частоты линейных колебаний любой части системы. Можно привести следующий пример. Струя газа течет в камеру, сообщающуюся с наружным воздухом. В камере горит сигнальный огонь. Когда концентрация газа в воздухе достигает некоторой критической величины, в системе может произойти взрыв вследствие возгорания смеси от сигнального огня. Время, которое пройдет до того, как это случится, зависит лишь от скорости течения светильного газа, от скорости всасывания воздуха и удаления продуктов сгорания и от процентного состава взрывчатой смеси светильного газа и воздуха.

Вообще говоря, нелинейные системы уравнений трудно решать. Существует, однако, случай, легко поддающийся исследованию, когда система лишь немного отличается от линейной, и члены, составляющие [c.179] различие, изменяются так медленно, что их можно считать, по существу, постоянными за период колебания. В этом случае нелинейная система может исследоваться так, как если бы это была линейная система с медленно изменяющимися параметрами. Системы, допускающие подобный подход, носят название систем с вековыми возмущениями; теория систем с вековыми возмущениями играет важнейшую роль в гравитационной астрономии.

Кажется вероятным, что некоторые виды физиологических треморов можно рассматривать приближенно как линейные системы с вековыми возмущениями. На такой системе легко понять, почему амплитуда стационарного колебания может оказаться столь же определенной, как и частота. Пусть одним из элементов такой системы будет усилитель, коэффициент усиления которого уменьшается по мере того, как увеличивается некоторое долговременное среднее входного сигнала. Тогда с ростом колебаний системы коэффициент усиления может упасть, пока не будет достигнуто состояние равновесия.