Квантовая вселенная. Как устроено то, что мы не можем увидеть - Джефф Форшоу

Продолжим эту интеллектуальную линию и подумаем, что происходит, когда вместе собирается более двух атомов. Три больше двух, так что начнем с рассмотрения трехъямного потенциала, показанного на рис. 8.5. Как обычно, нужно представить, что каждое углубление – это атом. Здесь должно быть три самых низких энергетических состояния, но при взгляде на рисунок легко решить, что на каждое состояние одиночного колодца приходится по четыре. Те четыре состояния, которые мы имеем в виду, показаны на рисунке и соотносятся с волновыми функциями, которые либо симметричны, либо антисимметричны по отношению к центру двух потенциальных барьеров[40]. Этот подсчет не может быть верным, потому что иначе получилось бы, что в этих четырех состояниях могли бы находиться четыре одинаковых фермиона, нарушая тем самым принцип Паули. Чтобы принцип Паули соблюдался, энергетических состояний должно быть только три – и их, разумеется, именно столько.

Рис. 8.5. Тройная яма, моделирующая ряд из трех атомов, и возможные волновые функции с самой низкой энергией. Внизу показано, как из трех остальных волн можно получить нижнюю

Чтобы убедиться в этом, нужно отметить, что мы всегда можем записать одну из четырех волновых функций на этом рисунке как сочетание трех других. В нижней части рисунка показано, как это работает в данном случае; мы продемонстрировали, как получить последнюю волновую функцию путем сложения и вычитания трех остальных.

Определив три самых низких энергетических состояния для частицы, находящейся в трехъямном потенциале, можем задаться вопросом, как в данном случае будет выглядеть рис. 8.4, и не удивляться, что выглядеть его аналог будет очень похоже – только пара разрешенных энергетических состояний превратится в трио.

Но хватит о трех атомах – мы сразу же переносим внимание на цепочку из множества атомов. Это особенно интересно, потому что именно здесь содержатся ключевые идеи, которые позволят многое понять о происходящем внутри твердых тел. Если существует N ям (при моделировании цепи из N атомов), то для каждой разрешенной энергии в одиночной яме будет N энергий. Если N будет равняться чему-то вроде 1023, что типично для количества атомов в небольшом куске твердого материала, то происходит огромное количество слияний. В результате рис. 8.4 будет в этом случае выглядеть примерно как рис. 8.6. Вертикальная пунктирная линия показывает, что у атомов, отделенных соответствующим расстоянием, электроны могут иметь лишь определенные разрешенные энергии. Это никак не может вызвать удивления (а если все еще удивляет, лучше начать читать эту книгу заново), но интересно, что разрешенные энергии идут «полосами». Например, разрешены энергии от А до В, но затем не разрешено ничего вплоть до С, после чего разрешены энергии от С до D и т. д. То, что в цепь объединено много атомов, значит, что в каждой полосе существует очень много разрешенных энергий. Собственно, их так много, что можно предположить: в типичном твердом теле разрешенные энергии образуют континуум в каждой полосе. Эта черта нашей модели сохраняется и в реальном твердом теле: электроны действительно обладают энергиями, сгруппированными в подобные полосы, и это обусловливает важные особенности твердых тел. В частности, эти полосы объясняют, почему некоторые материалы (металлы) проводят электричество, а другие (изоляторы) не проводят.

Рис. 8.6. Энергетические полосы в твердом теле и их варьирование на расстоянии между атомами

Почему так? Начнем с анализа цепи атомов (как обычно, моделируемой как цепь потенциальных ям), но предположим на сей раз, что в каждом атоме несколько электронов. Разумеется, это нормальное явление – только у водорода всего один электрон связан с одним протоном, так что мы переходим от обсуждения цепочки атомов водорода к более интересному случаю цепочки атомов потяжелее. Нужно вспомнить также о том, что существует два типа электронов – со спином вверх и со спином вниз, а принцип Паули гласит, что мы можем поместить на каждый разрешенный энергетический уровень не более двух электронов. Отсюда следует, что для цепи атомов, каждый из которых содержит всего один электрон (то есть это атомы водорода), энергетическая полоса n = 1 заполнена наполовину. Это показано на рис. 8.7, где мы изобразили энергетические уровни для цепи из пяти атомов. Это значит, что каждая полоса содержит пять отчетливо выделяемых разрешенных энергий. Эти пять энергетических состояний могут принять максимум десять электронов, но нам стоит беспокоиться лишь о пяти, так как в конфигурации с самой низкой энергией цепь атомов содержит пять электронов, занимающих нижнюю половину энергетической полосы n = 1. Если бы у нас в цепи было 100 атомов, то полоса n = 1 могла бы содержать 200 электронов, но в случае с водородом будет только 100 электронов, так что полоса n = 1 в конфигурации с самой низкой энергией вновь заполнится наполовину. Рис. 8.7 показывает также, что происходит в том случае, когда на атом приходится два электрона (гелий) или три (литий). В случае с гелием конфигурация с самой низкой энергией соответствует заполненной полосе n = 1, а в случае с литием – заполненной полосе n = 1 и наполовину заполненной полосе n = 2. Должно быть понятно, что такая схема полного и половинного заполнения будет продолжаться, так что атомы с четным числом электронов всегда будут иметь заполненные полосы, а атомы с нечетным – наполовину заполненные полосы. Степень заполнения полосы, как мы очень скоро выясним, и служит причиной того, почему некоторые материалы оказываются проводниками, а другие – изоляторами.

Рис. 8.7. Расположение электронов в самых низких доступных энергетических состояниях в цепочке из пяти атомов, где каждый атом содержит 1, 2 или 3 электрона. Черные точки обозначают электроны

Сейчас представим, что мы подсоединяем концы атомной цепочки к клеммам батареи. По опыту известно, что, если речь идет об атомах металла, электрический ток будет проводиться. Но что это значит и как это объясняется тем, что мы уже знаем?

Точное действие батареи на атомы внутри провода, к счастью, понимать не надо. Все, что нужно знать, – это что подсоединение к батарее дает источник энергии, способный подтолкнуть электрон, причем всегда в одном и том же направлении. Почему батарея ведет себя именно так? Хороший вопрос. Дело в том, что она создает внутри провода электрическое поле, которое и подталкивает электроны. Это не самое удовлетворительное объяснение, но в пределах книги оно нас вполне устроит. В конце концов, мы могли бы обратиться к законам квантовой электродинамики и попытаться объяснить это явление через взаимодействие электронов с фотонами. Но при этом к разговору, который мы ведем сейчас, не добавилось бы ровным счетом ничего, так что в интересах краткости мы этого не сделаем.

Представьте электрон, находящийся в одном из состояний с определенной энергией. Начнем с предположения, что действие батареи лишь незначительно подталкивает электроны. Если электрон находится в состоянии низкой энергии и многие другие электроны стоят выше его на энергетической лестнице (используя этот образ, мы держим в уме рис. 8.7), он не сможет получить энергетический толчок от батареи. Его заблокируют, потому что более высокие энергетические состояния уже заполнены. Например, батарея способна вытолкнуть электрон на энергетическое состояние несколькими ступеньками выше, но, если все доступные ступеньки уже заняты, наш электрон должен отказаться от получения дополнительной энергии, поскольку двигаться просто некуда. Помните, что принцип Паули говорит о том, что, если все места заняты, дополнительные электроны не смогут попасть выше. Электрон вынужден вести себя так же, как если бы никакой батареи просто не существовало. Иная ситуация с электронами, имеющими самые высокие энергии. Они находятся близко к верху и могут в принципе впитать небольшой энергетический толчок от батареи и перейти на более высокое состояние – но только если не располагаются на самом верху уже заполненной полосы. Вернувшись к рис. 8.7, увидим, что электроны с самой высокой энергией смогут впитать энергию от батареи, если атомы в цепи содержат нечетное число электронов. Если это число четное, то верхние электроны все равно не смогут никуда сдвинуться, потому что в энергетической лестнице наблюдается большой разрыв, преодолеваемый только с помощью очень сильного толчка.